חשבון דיפרנציאלי | בדיקה מסכמת | 12 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

תשובות לתרגול

1. 7

   1. גוזרים כל איבר: f′(x)=4x−1, כי נגזרת −x היא −1.

   2. מציבים x=2: מתקבל 8−1=7. זהו השיפוע ולא ערך הפונקציה f(2)=6.

2. 1+h; f′(1)=1

   1. f(1)=0 ו־f(1+h)=(1+h)²−(1+h)=h+h². המנה היא 1+h עבור h≠0.

   2. מעבירים לגבול h→0 ומקבלים 1. הצבה של h=0 לפני הצמצום אינה חוקית.

3. y=−3x+1

   1. נקודת ההשקה היא (−1,4). הנגזרת 2x−1 נותנת שיפוע −3 ב־−1.

   2. מציבים בנוסחת ישר: y−4=−3(x+1). לכן y=−3x+1; בדיקת x=−1 נותנת 4.

4. 3x²+4x−1

   1. גוזרים בכל פעם גורם אחד ומשאירים את האחר: כלל המכפלה נותן f′=1·(x²−1)+(x+2)·2x.

   2. פותחים ומחברים את שני איברי החזקה השנייה: x²−1+2x²+4x=3x²+4x−1. פתיחת הפונקציה מראש וגזירת איבריה נותנות אותה תוצאה.

5. 12

   1. נגזרת ההרכבה היא 4(3x+1)³·3=12(3x+1)³. מכפילים בנגזרת הפנימית.

   2. ב־x=0 הביטוי הפנימי שווה 1, ולכן f′(0)=12·1³=12.

6. מינימום −4 ב־2; מקסימום 5 ב־5

   1. הנגזרת 2x−4 מתאפסת ב־2 שבתוך הקטע. בודקים גם 1 ו־5, ולא משמיטים קצוות.

   2. ערכים: f(1)=−3, f(2)=−4, f(5)=5. לכן המינימום −4 והמקסימום 5.

7. לא; הנגזרת חיובית משני הצדדים

   1. חזקה זוגית אינה שלילית. הנגזרת אפס רק ב־−2 וחיובית בכל נקודה אחרת.

   2. f עולה לפני −2 וגם אחריו, לכן אין קיצון שם. אי אפשר להסיק קיצון מאפס של נגזרת בלבד.

8. מתחת לציר; עולה בסביבה קטנה של 1

   1. ערך f(1) שלילי ולכן הנקודה (1,−8) מתחת לציר x. זה מידע על מיקום ולא על כיוון.

   2. נגזרת פולינום רציפה וחיובית ב־1, ולכן חיובית בסביבה קטנה של הנקודה: f עולה שם. אין להסיק על כל התחום.

9. 3

   1. נגזרת לפי x היא 3ax²+1 כאשר a קבוע. מציבים x=1 ואת השיפוע הנתון 10.

   2. מקבלים 3a+1=10 ולכן a=3. מציבים חזרה: 3·3+1=10 ומאמתים.

10. y=2x+2

    1. התלמיד בלבל שיפוע עם שיעור y. f′(1)=2 הוא השיפוע, אבל f(1)=4 ולכן נקודת ההשקה (1,4).

    2. המשיק הוא y−4=2(x−1), כלומר y=2x+2. הנקודה השגויה כלל אינה על הגרף.

11. אפסים 0,3; מקסימום (1,4), מינימום (3,0); משיק y=−3x+8; אין מינימום מוחלט

    1. א. התחום כל הממשיים. מפרקים f=x(x−3)² ולכן האפסים 0 ו־3, וחיתוך y בראשית.

    2. ב. f′=3(x−1)(x−3). סימנים חיובי, שלילי, חיובי: עלייה לפני 1 ואחרי 3, ירידה ביניהם. מקסימום מקומי (1,4), מינימום מקומי (3,0).

    3. ג. f(2)=2 ו־f′(2)=−3. המשיק y−2=−3(x−2), ולכן y=−3x+8.

    4. ד. כש־x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת למינוס אינסוף; לכן אין מינימום מוחלט. המינימום המקומי אינו מינימום בכל התחום.

12. A=x(9−x²); 0<x<3; מידות √3 ו־6; שטח 6√3 יחידות שטח

    1. א. רוחב המלבן x וגובהו 9−x², לכן A=x(9−x²). מלבן לא מנוון דורש 0<x<3.

    2. ב. A′=9−3x². האפס היחיד בתחום הוא √3. הנגזרת חיובית לפניו ושלילית אחריו, לכן מקסימום. הגובה 9−3=6.

    3. ג. השטח 6√3 יחידות שטח. בהרחבה לקצוות 0 ו־3 השטח אפס, ולכן המקסימום פנימי וגדול יותר. מדובר בגאומטריה במישור של כיתה י׳, ללא שיוך לשאלון 35571.