חשבון דיפרנציאלי | תרגול 2 | קשרים | משיק וכללים | כיתה י׳, 5 יחידות

תשובות לתרגול

1. y=4x−3

   1. מוצאים נקודת השקה: f(2)=5 ולכן הנקודה (2,5). הנגזרת f′(x)=2x ולכן השיפוע 4.

   2. משוואת ישר דרך נקודה ושיפוע: y−5=4(x−2). פותחים ומקבלים y=4x−3 ובודקים שב־x=2 מתקבל 5.

2. 3x²−4x+1

   1. בכלל המכפלה גוזרים בכל פעם גורם אחד: f′=2x(x−2)+(x²+1)·1.

   2. פותחים ומחברים: 2x²−4x+x²+1=3x²−4x+1. מכפלת הנגזרות בלבד אינה הכלל.

3. 6(2x−1)²

   1. מזהים פונקציה פנימית u=2x−1 וחיצונית u³. נגזרת החיצונית היא 3u².

   2. מכפילים בנגזרת הפנימית 2: f′=3(2x−1)²·2=6(2x−1)². אין צורך לפתוח את הקובייה.

4. יורדת x<3; עולה x>3; מינימום (3,−9)

   1. גוזרים f′(x)=2x−6; האפס הוא x=3. לפני 3 הנגזרת שלילית ואחרי 3 היא חיובית.

   2. לכן הפונקציה יורדת עד 3 ועולה אחריו. מעבר משלילי לחיובי נותן מינימום; f(3)=9−18=−9.

5. 2

   1. גוזרים לפי x ומתייחסים ל־a כקבוע: f′(x)=2ax+3.

   2. מציבים x=1 ואת השיפוע הנתון: 2a+3=7. לכן 2a=4 ו־a=2; בדיקה: 2·2+3=7.

6. x=−2 או x=2

   1. לישר הנתון שיפוע 9. מקבילות דורשת f′(x)=9, ולא שוויון בערכי הפונקציות.

   2. גוזרים 3x²−3 ומשווים ל־9: 3x²=12, x²=4. שתי האפשרויות x=−2 ו־x=2 תקינות.

7. מינימום ב־x=−1; מקסימום ב־x=2

   1. ב־x=−1 הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: הפונקציה עוברת מירידה לעלייה ולכן יש מינימום.

   2. ב־x=2 המעבר מחיובית לשלילית נותן מקסימום. בלי ערך התחלתי של f אי אפשר למצוא את שיעורי y.

8. מינימום −1 ב־x=1; מקסימום 3 ב־x=3

   1. הנגזרת 2x−2 מתאפסת ב־x=1, הנמצא בתוך הקטע. מחשבים גם בשני הקצוות.

   2. f(0)=0, f(1)=−1, f(3)=3. משווים את שלושת הערכים: המינימום −1 והמקסימום 3, ולא רק בודקים נגזרת אפס.