בוחן קצר

חשבון דיפרנציאלי של פולינום | בוחן קצר | בעיות קיצון | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תשפ״ז

בוחן קצר בחשבון דיפרנציאלי של פולינום לכיתה י׳, 4 יחידות: 4 שאלות על בעיות קיצון, עם הסבר מלא אחרי ההגשה.

מטרות הלמידה

4 שאלות. 25 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 10 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

היקף מלבן הוא 24 ס״מ. מהו השטח הגדול ביותר שלו, בסמ״ר?
מלבן חסום בין ציר x לגרף ⁦y = 3 − x²⁩: שני קודקודים על ציר x, ושני האחרים על הגרף, באופן סימטרי לציר y. מהו השטח הגדול ביותר?
מנקודה על הישר ⁦y = 8 − 2x⁩ ברביע הראשון מורידים אנכים לצירים, ונוצר מלבן שקודקוד אחד שלו בראשית. מהו השטח הגדול ביותר?
בבעיית קיצון מצאנו x שבו ⁦S′(x) = 0⁩. מה עוד צריך לעשות לפני שכותבים תשובה?
1. שום דבר, התשובה כבר מוכנה
2. לגזור שוב את S′
3. לבדוק שה־x בתחום ושבנקודה יש מקסימום
4. להציב ⁦x = 0⁩ ב־S

36
1. ⁦S(x) = x(12 − x) = 12x − x²⁩.
2. ⁦S′(x) = 12 − 2x = 0⁩, ולכן ⁦x = 6⁩, והשטח ⁦6 · 6 = 36⁩.
4
1. ⁦S(x) = 2x(3 − x²) = 6x − 2x³⁩.
2. ⁦S′(x) = 6 − 6x² = 0⁩, ולכן ⁦x = 1⁩ (בתחום ⁦x > 0)⁩, ומקסימום כי הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית.
3. ⁦S(1) = 2 · 2 = 4⁩.
8
1. ⁦S(x) = x(8 − 2x) = 8x − 2x²⁩.
2. ⁦S′(x) = 8 − 4x = 0⁩, ולכן ⁦x = 2⁩, והשטח ⁦2 · 4 = 8⁩.
לבדוק שה־x בתחום ושבנקודה יש מקסימום
1. נקודה שבה הנגזרת מתאפסת היא רק נקודה חשודה.
2. בודקים שה־x מתאים לתנאי הבעיה, ושהנגזרת עוברת מחיובית לשלילית (מקסימום).