חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תרגול רמה 2 | ביסוס | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תשפ״ז
תרגול ביסוס בחשבון דיפרנציאלי של פולינום לכיתה י׳, 4 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.
מטרות הלמידה
- להבין את הנגזרת כקצב שינוי וכשיפוע המשיק, ולגזור פולינום
- למצוא משוואת משיק ולחקור פולינום: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
- לקרוא מגרף הנגזרת את התנהגות הפונקציה, ולנמק
- לגזור מכפלה והרכבה של פולינומים
- לפתור בעיות קיצון בהקשר גאומטרי וגרפי
לפני שמתחילים
דוגמה פתורה לפני שמתחילים
נתונה f(x) = x² − 2x + 3. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה x = 3.
נקודת ההשקה: f(3) = 9 − 6 + 3 = 6, כלומר (3, 6).
f′(x) = 2x − 2, ולכן השיפוע f′(3) = 4.
y − 6 = 4(x − 3), ולכן y = 4x − 6.
תשובה: y = 4x − 6
תרגול
נתונה הפונקציה f(x) = x² − 4x. באיזה ערך של x המשיק לגרף מקביל לציר x?
נתונה הפונקציה f(x) = x² − 3x. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x = 1?
- y = −x − 1
- y = −x − 2
- y = −2x
- y = x − 3
נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 3x. באיזה ערך של x יש לה מקסימום מקומי?
- x = 1
- x = 0
- x = 3
- x = −1
נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 3x. מהו ערך הפונקציה בנקודת המינימום המקומי שלה?
בגרף של f′ רואים שהנגזרת חיובית משמאל ל־x = 2 ושלילית מימין לו. מה יש לפונקציה f בנקודה שבה x = 2?
- מינימום מקומי
- נקודת חיתוך עם ציר x
- מקסימום מקומי
- אין שם נקודה מיוחדת
נתון f′(x) = 2x − 6. באיזה תחום הפונקציה f יורדת?
- x > 3
- x < 3
- x < −3
- x > 6
נתונה הפונקציה f(x) = (x − 2)(x² + 3). מהו f′(2)?
נתונה הפונקציה f(x) = (x² − 1)². מהו f′(2)?
תשובות לתרגול
- 2
-
משיק מקביל לציר x הוא משיק ששיפועו 0, ולכן פותרים f′(x) = 0.
-
f′(x) = 2x − 4 = 0, ולכן x = 2.
-
- y = −x − 1
-
נקודת ההשקה: f(1) = 1 − 3 = −2, כלומר (1, −2).
-
השיפוע: f′(x) = 2x − 3, ולכן f′(1) = −1.
-
y + 2 = −1 · (x − 1), ולכן y = −x − 1.
-
- x = −1
-
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), ולכן הנגזרת מתאפסת ב־x = −1 וב־x = 1.
-
משמאל ל־x = −1 הנגזרת חיובית, ובין −1 ל־1 היא שלילית.
-
הפונקציה עולה ואחר כך יורדת, ולכן ב־x = −1 יש מקסימום מקומי.
-
- −2
-
הנגזרת f′(x) = 3x² − 3 מתאפסת ב־x = ±1, ועוברת משלילית לחיובית ב־x = 1.
-
לכן המינימום המקומי ב־x = 1.
-
f(1) = 1 − 3 = −2.
-
- מקסימום מקומי
-
משמאל ל־x = 2 הנגזרת חיובית, ולכן f עולה שם.
-
מימין ל־x = 2 הנגזרת שלילית, ולכן f יורדת שם.
-
עלייה ואחריה ירידה: מקסימום מקומי.
-
- x < 3
-
f יורדת היכן שהנגזרת שלילית.
-
2x − 6 < 0, כלומר 2x < 6 ולכן x < 3.
-
- 7
-
לפי כלל המכפלה: f′(x) = 1 · (x² + 3) + (x − 2) · 2x.
-
מציבים x = 2: (4 + 3) + 0 · 4 = 7.
-
- 24
-
לפי כלל השרשרת: f′(x) = 2(x² − 1) · 2x.
-
מציבים x = 2: 2 · 3 · 4 = 24.
-