חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תרגול רמה 1 | בסיס | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תשפ״ז
תרגול בסיס בחשבון דיפרנציאלי של פולינום לכיתה י׳, 4 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.
מטרות הלמידה
- להבין את הנגזרת כקצב שינוי וכשיפוע המשיק, ולגזור פולינום
- למצוא משוואת משיק ולחקור פולינום: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
- לקרוא מגרף הנגזרת את התנהגות הפונקציה, ולנמק
- לגזור מכפלה והרכבה של פולינומים
- לפתור בעיות קיצון בהקשר גאומטרי וגרפי
לפני שמתחילים
דוגמה פתורה לפני שמתחילים
נתונה f(x) = x³ − 4x. מצאו את שיפוע המשיק בנקודה שבה x = 2.
גוזרים: f′(x) = 3x² − 4.
מציבים x = 2: f′(2) = 12 − 4 = 8.
תשובה: השיפוע 8
תרגול
מכונית יוצאת לדרך, והמרחק שעברה במטרים אחרי t שניות הוא s(t) = t². מהי המהירות הממוצעת שלה, במטרים לשנייה, בין t = 2 ל־t = 4?
נתונה הפונקציה f(x) = x³. מהו f′(2)?
נתונה הפונקציה f(x) = 5x² − 3x + 7. מהו f′(1)?
מה מייצג המספר f′(3)?
- את ערך הפונקציה בנקודה שבה x = 3
- את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר y
- את שיפוע המשיק לגרף f בנקודה שבה x = 3
- את המרחק של הנקודה (3, 0) מהגרף
נתונה הפונקציה f(x) = x² + 1. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x = 2?
בקטע מסוים מתקיים f′(x) > 0 לכל x. מה אפשר להסיק על f בקטע הזה?
- f עולה בקטע
- f יורדת בקטע
- f חיובית בקטע
- f קבועה בקטע
נתונה הפונקציה f(x) = x² · (x + 1). מהו f′(1)?
נתונה הפונקציה f(x) = (2x + 1)³. מהו f′(0)?
תשובות לתרגול
- 6
-
המהירות הממוצעת היא השינוי במרחק חלקי השינוי בזמן.
-
s(4) = 16 ו־s(2) = 4, ולכן השינוי במרחק 12 מטרים.
-
השינוי בזמן 2 שניות: 12 : 2 = 6.
-
- 12
-
לפי כלל החזקה: f′(x) = 3x².
-
מציבים x = 2: f′(2) = 3 · 4 = 12.
-
- 7
-
גוזרים כל איבר: f′(x) = 10x − 3. נגזרת הקבוע 7 היא 0.
-
מציבים x = 1: f′(1) = 10 − 3 = 7.
-
- את שיפוע המשיק לגרף f בנקודה שבה x = 3
-
הנגזרת בנקודה היא קצב השינוי הרגעי של הפונקציה באותה נקודה.
-
בגרף זה שיפוע המשיק בנקודה שבה x = 3. ערך הפונקציה עצמו הוא f(3), מספר אחר.
-
- 4
-
שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה.
-
f′(x) = 2x, ולכן f′(2) = 4.
-
- f עולה בקטע
-
נגזרת חיובית פירושה שיפוע חיובי בכל נקודה בקטע.
-
לכן כשמתקדמים ימינה ערכי f גדלים: f עולה. הסימן של f′ אינו אומר דבר על הסימן של f עצמה.
-
- 5
-
לפי כלל המכפלה: f′(x) = 2x · (x + 1) + x² · 1.
-
מציבים x = 1: 2 · 1 · 2 + 1 = 5.
-
בדיקה בדרך אחרת: f(x) = x³ + x², ולכן f′(x) = 3x² + 2x ו־f′(1) = 5.
-
- 6
-
לפי כלל השרשרת: f′(x) = 3(2x + 1)² · 2. הגורם 2 הוא הנגזרת של הביטוי הפנימי.
-
מציבים x = 0: 3 · 1 · 2 = 6.
-