דף תרגול

אנכים אמצעיים וקווים מיוחדים במשולש | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | אנכים אמצעיים וקווים מיוחדים במשולש | תשפ״ז

תרגול אתגר באנכים אמצעיים וקווים מיוחדים במשולש לכיתה י׳, 4 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

במשולש ישר זווית הניצבים 5 ו־12. מצאו את רדיוס המעגל החוסם.

תשובה: ⁦R = 6.5⁩

במשולש ABC נתון ⁦AB = AC = 13⁩ ו־⁦BC = 10. AD⁩ הוא התיכון לבסיס. מה אורך AD?
באותו משולש ⁦(AB = AC = 13, BC = 10, AD = 12)⁩: מה שטח המשולש ABC?
במשולש ישר זווית התיכון ליתר אורכו 5, ואחד הניצבים 6. מה אורך הניצב השני?
תלמיד כתב: "מרכז המעגל החוסם נמצא תמיד בתוך המשולש". מה נכון?
1. הטענה נכונה בכל משולש
2. במשולש קהה זווית המרכז נמצא מחוץ למשולש
3. המרכז תמיד על אחת הצלעות
4. המרכז תמיד באחד הקודקודים
הנקודה O היא מרכז המעגל החוסם משולש חד זווית ABC. נתון ⁦∠OAB = 25°⁩ ו־⁦∠OBC = 40°⁩. מה גודל ⁦∠OCA⁩ במעלות?
שטח משולש ABC הוא 36, ו־AD התיכון לצלע BC. מה שטח המשולש ABD?
האנך האמצעי לצלע BC במשולש ABC עובר דרך הקודקוד A. נתון ⁦AB = 9⁩ ו־⁦BC = 8⁩. מה היקף המשולש?
במשולש ABC הזווית C ישרה, ו־M אמצע היתר AB. נתון ⁦∠A = 32°⁩. מה גודל ⁦∠MCB⁩ במעלות?

12
1. במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם הגובה לבסיס.
2. ⁦BD = 5⁩, ולפי משפט פיתגורס ⁦AD = √(169 − 25) = √144 = 12⁩.
60
1. AD גובה לבסיס BC.
2. שטח = ⁦⁦(10 · 12)⁩ : ⁦2 = 60⁩⁩.
8
1. התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן היתר 10.
2. הניצב השני ⁦√(100 − 36) = 8⁩.
במשולש קהה זווית המרכז נמצא מחוץ למשולש
1. במשולש חד זווית המרכז בפנים, במשולש ישר זווית באמצע היתר.
2. במשולש קהה זווית האנכים האמצעיים נפגשים מחוץ למשולש.
25
1. ⁦OA = OB = OC⁩, ולכן המשולשים OAB, OBC ו־OCA שווי שוקיים: ⁦∠OBA = 25°, ∠OCB = 40°, ∠OAC = ∠OCA = x⁩.
2. סכום זוויות המשולש ABC: ⁦2 · (25 + 40 + x) = 180⁩.
3. ⁦25 + 40 + x = 90⁩, ולכן ⁦x = 25⁩.
18
1. למשולשים ABD ו־ADC בסיסים שווים ⁦BD = DC⁩ וגובה משותף מ־A.
2. לכן התיכון מחלק את השטח לשני חלקים שווים: ⁦36 : ⁦2 = 18⁩⁩.
26
1. A על האנך האמצעי ל־BC, ולכן ⁦AC = AB = 9⁩.
2. היקף = ⁦9 + 9 + 8 = 26⁩.
58
1. ⁦∠B = 90° − 32° = 58°⁩.
2. התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן ⁦MC = MB⁩ והמשולש MCB שווה שוקיים.
3. ⁦∠MCB = ∠B = 58°⁩.