דף תרגול

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 2 | ביסוס | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

תרגול ביסוס בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

לבנות פונקציית מטרה פולינומית מהקשר מילולי
לקבוע תחום חוקי מתוך ההקשר ולבדוק קצוות
לפתור בעיות קיצון מספריות, כלכליות ומרחביות ולענות במבוקש

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

הכנסה ⁦R(x) = 60x − 3x²⁩ שקלים, עלות 12x שקלים. מצאו את הרווח המרבי.

רווח = הכנסה − עלות: ⁦P(x) = 48x − 3x²⁩.
⁦P′(x) = 48 − 6x = 0⁩ נותן ⁦x = 8⁩ יחידות.
⁦P(8) = 192⁩ שקלים.

תשובה: רווח מרבי של 192 שקלים ב־8 יחידות

תרגול

סכום שני מספרים הוא 12. מהו הערך הקטן ביותר של סכום ריבועיהם?
מספר x מקיים ⁦0 ≤ x ≤ 12⁩. מהו הערך הגדול ביותר של הביטוי ⁦x(12 − x) + 4x⁩?
ההכנסה ממכירת x יחידות היא ⁦60x − 3x²⁩ שקלים, והעלות היא 12x שקלים. הרווח הוא הכנסה פחות עלות. מהו הרווח הגדול ביותר (בשקלים)?
הרווח היומי של דוכן הוא ⁦P(x) = −x² + 14x − 24⁩ שקלים, כאשר x הוא מספר הלקוחות בעשרות. מהו הרווח הגדול ביותר (בשקלים)?
עלות הייצור של x יחידות היא ⁦C(x) = x² − 10x + 45⁩ שקלים. מהי העלות הקטנה ביותר (בשקלים)?
מיריעה ריבועית שצלעה 12 ס״מ חותכים בכל פינה ריבוע שצלעו x ומקפלים קופסה פתוחה. הנפח הוא ⁦V(x) = x(12 − 2x)²⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
מיריעה ריבועית שצלעה 18 ס״מ חותכים בכל פינה ריבוע שצלעו x ומקפלים קופסה פתוחה. הנפח הוא ⁦V(x) = x(18 − 2x)²⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
מהו הערך הקטן ביותר של הביטוי ⁦x² − 6x + 11⁩?

תשובות לתרגול

72
1. המספרים: x ו־⁦12 − x⁩.
2. סכום הריבועים: ⁦S(x) = x² + (12 − x)² = 2x² − 24x + 144⁩.
3. ⁦S′(x) = 4x − 24 = 0⁩ נותן ⁦x = 6⁩.
4. ⁦S(6) = 36 + 36 = 72⁩.
64
1. פישוט: ⁦f(x) = 12x − x² + 4x = 16x − x²⁩.
2. ⁦f′(x) = 16 − 2x = 0⁩ נותן ⁦x = 8⁩, בתוך התחום.
3. ⁦f(8) = 128 − 64 = 64⁩, ובקצוות ⁦f(0) = 0⁩ ו־⁦f(12) = 48⁩, לכן 64 הוא המקסימום.
192
1. הרווח: ⁦P(x) = (60x − 3x²) − 12x = 48x − 3x²⁩.
2. ⁦P′(x) = 48 − 6x = 0⁩ נותן ⁦x = 8⁩.
3. ⁦P(8) = 384 − 192 = 192⁩ שקלים.
25
1. ⁦P′(x) = −2x + 14 = 0⁩ נותן ⁦x = 7⁩.
2. המקדם של ⁦x²⁩ שלילי, ולכן זה מקסימום.
3. ⁦P(7) = −49 + 98 − 24 = 25⁩ שקלים.
20
1. ⁦C′(x) = 2x − 10 = 0⁩ נותן ⁦x = 5⁩.
2. הפרבולה מחייכת, ולכן זה מינימום.
3. ⁦C(5) = 25 − 50 + 45 = 20⁩ שקלים.
128
1. התחום: ⁦0 < x < 6⁩, כי הבסיס ⁦12 − 2x⁩ חייב להיות חיובי.
2. ⁦V(x) = 4x³ − 48x² + 144x⁩, ולכן ⁦V′(x) = 12x² − 96x + 144 = 12(x − 2)(x − 6)⁩.
3. בתוך התחום רק ⁦x = 2⁩; ב־⁦x = 6⁩ הנפח 0.
4. ⁦V(2) = 2 · 8² = 128⁩ סמ״ק.
432
1. התחום: ⁦0 < x < 9⁩.
2. ⁦V′(x) = 12(x − 3)(x − 9)⁩; בתוך התחום רק ⁦x = 3⁩.
3. ⁦V(3) = 3 · 12² = 432⁩ סמ״ק.
2
1. ⁦f′(x) = 2x − 6 = 0⁩ נותן ⁦x = 3⁩.
2. הפרבולה מחייכת, ולכן זה מינימום.
3. ⁦f(3) = 9 − 18 + 11 = 2⁩.