דף תרגול

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 1 | בסיס | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

תרגול בסיס בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: 6 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

סכום שני מספרים הוא 20. מצאו את המכפלה הגדולה ביותר.

תשובה: המכפלה הגדולה ביותר היא 100 (עבור 10 ו־10)

סכום של שני מספרים הוא 20. מהו הערך הגדול ביותר האפשרי של מכפלתם?
סכום של שני מספרים הוא 24. מהי המכפלה הגדולה ביותר האפשרית?
ההפרש בין שני מספרים הוא 8 (הראשון גדול מהשני). מהו הערך הקטן ביותר של מכפלתם?
חנות מוכרת מוצר במחיר ⁦p = 40 − 2x⁩ שקלים ליחידה, כאשר x מספר היחידות. ההכנסה היא ⁦x · p⁩. מהי ההכנסה הגדולה ביותר (בשקלים)?
מיריעה ריבועית שצלעה 12 ס״מ; חותכים בכל פינה ריבוע שצלעו x ומקפלים קופסה. מהו התחום החוקי של x?
1. ⁦0 < x < 12⁩
2. ⁦x > 0⁩ בלבד
3. ⁦0 < x < 6⁩
4. ⁦0 < x < 3⁩
סכום שני מספרים חיוביים הוא 30 ורוצים מכפלה מרבית. איזה ביטוי מייצג את המכפלה כפונקציה של x?
1. ⁦x(30 − x)⁩
2. ⁦x + 30⁩
3. ⁦x² + 30⁩
4. ⁦30x + x⁩

100
1. נסמן מספר אחד ב־x; השני הוא ⁦20 − x⁩.
2. המכפלה: ⁦P(x) = x(20 − x) = 20x − x²⁩.
3. ⁦P′(x) = 20 − 2x = 0⁩ נותן ⁦x = 10⁩, והפרבולה הפוכה ולכן זה מקסימום.
4. ⁦P(10) = 10 · 10 = 100⁩.
144
1. המכפלה: ⁦P(x) = x(24 − x) = 24x − x²⁩.
2. ⁦P′(x) = 24 − 2x = 0⁩ נותן ⁦x = 12⁩.
3. ⁦P(12) = 12 · 12 = 144⁩.
-16
1. נסמן את הגדול ב־x; הקטן הוא ⁦x − 8⁩.
2. המכפלה: ⁦P(x) = x(x − 8) = x² − 8x⁩.
3. ⁦P′(x) = 2x − 8 = 0⁩ נותן ⁦x = 4⁩, והפרבולה מחייכת ולכן זה מינימום.
4. ⁦P(4) = 16 − 32 = −16⁩.
200
1. ההכנסה: ⁦R(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x²⁩.
2. ⁦R′(x) = 40 − 4x = 0⁩ נותן ⁦x = 10⁩ יחידות.
3. ⁦R(10) = 400 − 200 = 200⁩ שקלים.
⁦0 < x < 6⁩
1. הגובה x חייב להיות חיובי.
2. צלע הבסיס היא ⁦12 − 2x⁩, וגם היא חייבת להיות חיובית: ⁦x < 6⁩.
⁦x(30 − x)⁩
1. אם מספר אחד הוא x, השני הוא ⁦30 − x⁩.
2. המכפלה היא ⁦x(30 − x) = 30x − x²⁩, פולינום שאפשר לגזור.