בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז
שיעור בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: ההסבר, ואחריו 4 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
מטרות הלמידה
- לבנות פונקציית מטרה פולינומית מהקשר מילולי
- לקבוע תחום חוקי מתוך ההקשר ולבדוק קצוות
- לפתור בעיות קיצון מספריות, כלכליות ומרחביות ולענות במבוקש
השיעור
לולאת המידול המלאה
בעיית קיצון נפתרת בשמונה שלבים: (1) בוחרים משתנה ומגדירים אותו עם יחידות. (2) קובעים את התחום החוקי מתוך המציאות: אורכים חיוביים, כמויות לא שליליות. (3) מבטאים את הכמות שמבקשים כפונקציה אחת של המשתנה. (4) גוזרים. (5) מוצאים נקודות קריטיות בתוך התחום. (6) בתחום סגור משווים גם את הקצוות. (7) מסווגים מקסימום או מינימום. (8) עונים על מה שנשאל, בהקשר ועם יחידות.
הקשר כלכלי
הכנסה היא מחיר כפול כמות. רווח הוא הכנסה פחות עלות: P(x) = R(x) − C(x). גוזרים תמיד את הכמות שמבקשים למקסם או למזער, לא את ההכנסה או העלות בלבד.
גאומטריית המרחב
בקופסה מיריעה שצלעה a חותכים ריבועים בצלע x: הגובה x, הבסיס a − 2x, והתחום 0 < x < . כשיש אילוץ של שטח פנים או סכום מקצועות, מבודדים ממנו את הגובה ומציבים בנפח כדי לקבל פולינום אחד.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | הקשר מספרי
סכום שני מספרים הוא 20. מצאו את המכפלה הגדולה ביותר.
משתנה: x הוא מספר אחד; השני 20 − x.
מטרה: P(x) = 20x − x².
P′(x) = 20 − 2x = 0 נותן x = 10; פרבולה הפוכה, מקסימום.
P(10) = 100.
תשובה: המכפלה הגדולה ביותר היא 100 (עבור 10 ו־10)
דוגמה 2 | הקשר כלכלי
הכנסה R(x) = 60x − 3x² שקלים, עלות 12x שקלים. מצאו את הרווח המרבי.
רווח = הכנסה − עלות: P(x) = 48x − 3x².
P′(x) = 48 − 6x = 0 נותן x = 8 יחידות.
P(8) = 192 שקלים.
תשובה: רווח מרבי של 192 שקלים ב־8 יחידות
דוגמה 3 | קופסה מיריעה
מיריעה 12×12 ס״מ; חותכים ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה. מצאו נפח מרבי.
תחום: 0 < x < 6 כי הבסיס 12 − 2x חיובי.
V(x) = x(12 − 2x)² = 4x³ − 48x² + 144x.
V′(x) = 12(x − 2)(x − 6); בתחום רק x = 2.
V(2) = 128 סמ״ק; בקצוות הנפח 0.
תשובה: נפח מרבי 128 סמ״ק כש־x = 2 ס״מ
דוגמה 4 | תיבה עם אילוץ מקצועות
סכום 12 המקצועות של תיבה שבסיסה ריבוע הוא 48 ס״מ. מצאו נפח מרבי.
אילוץ: 8x + 4h = 48, ולכן h = 12 − 2x והתחום 0 < x < 6.
V(x) = x²(12 − 2x) = 12x² − 2x³.
V′(x) = 6x(4 − x) נותן x = 4, ואז h = 4.
V(4) = 64 סמ״ק.
תשובה: נפח מרבי 64 סמ״ק בתיבה 4×4×4