בוחן קצר

חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | בוחן מסכם | 10 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | תשפ״ז

בוחן מסכם בחוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות לכיתה י׳, 4 יחידות: 10 שאלות, 100 נקודות, 25 דקות.

מטרות הלמידה

להשתמש במשפט חוצה הזווית כדי לחשב קטעים וצלעות
להוכיח בעזרת המשפט ההפוך שקטע חוצה זווית
להשתמש במשפט נקודת מפגש חוצי הזוויות לנימוק ולחישוב זוויות

הנחיות

10 שאלות. 10 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 25 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = 4, AC = 6⁩ ו־⁦BD = 2⁩. מה אורך DC?
במשולש ABC נתון ⁦AB = AC = 7⁩ ו־⁦BC = 9⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מה אורך BD?
במשולש ABC נתון ⁦AB = 10, AC = 20⁩ ו־⁦BC = 18⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מה אורך BD?
במשולש ABC הנקודה D על BC. נתון ⁦BD = 5, DC = 7, AB = 10⁩ ו־⁦AC = 14⁩. מה אפשר להסיק?
1. AD חוצה את זווית A
2. AD תיכון לצלע BC
3. AD גובה לצלע BC
4. המשולש ABC שווה שוקיים
במשולש ABC חוצי הזוויות של A ושל B נפגשים בנקודה I. מה נכון בוודאות?
1. CI תיכון לצלע AB
2. I אמצע הצלע AB
3. CI חוצה את זווית C
4. CI מאונך ל־AB
במשולש ABC חוצי הזוויות נפגשים בנקודה I. נתון ⁦∠A = 40°⁩ ו־⁦∠B = 60°⁩. מה גודל ⁦∠BCI⁩ במעלות?
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = x, AC = 12, BD = 4⁩ ו־⁦DC = 6⁩. מה ערכו של x?
במשולש ABC חוצי הזוויות של A ושל B נפגשים בנקודה I. נתון ⁦∠C = 50°⁩. מה גודל ⁦∠AIB⁩ במעלות?
במשולש ABC נתון ⁦AB = 12, AC = 8⁩ ו־⁦BC = 15⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. בכמה ארוך BD מ־DC?
במשולש ABC חוצי הזוויות נפגשים בנקודה I. נתון ⁦∠A = 64°⁩ ו־⁦∠B = 46°⁩. מה גודל ⁦∠AIC⁩ במעלות?

תשובות לתרגול

3
1. ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : ⁦AC = 4⁩ : 6⁩.
2. ⁦DC = 2 · 6⁩ : ⁦4 = 3⁩.
4.5
1. ⁦AB : ⁦⁦AC = 1⁩ : 1⁩⁩, ולכן ⁦BD = DC⁩.
2. ⁦⁦BD = 9⁩ : ⁦2 = 4.5⁩⁩.
6
1. ⁦BD : ⁦⁦DC = 10⁩ : ⁦20 = 1⁩ : 2⁩⁩.
2. ⁦18 : ⁦3 = 6⁩⁩, ולכן ⁦BD = 6⁩.
AD חוצה את זווית A
1. ⁦AB : ⁦⁦AC = 10⁩ : ⁦14 = 5⁩ : ⁦7 = BD⁩⁩ : DC⁩.
2. D על BC והיחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך AD חוצה את זווית A.
CI חוצה את זווית C
1. שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת.
2. לכן חוצה זווית C עובר דרך I, והקטע CI חוצה את זווית C.
40
1. ⁦∠C = 180° − 40° − 60° = 80°⁩.
2. CI חוצה את זווית C, ולכן ⁦∠BCI = 40°⁩.
8
1. ⁦x : ⁦12 = 4⁩ : 6⁩.
2. ⁦x = 12 · 4⁩ : ⁦6 = 8⁩.
115
1. ⁦∠A + ∠B = 130°⁩, ולכן חצאיהן יחד 65°.
2. ⁦∠AIB = 180° − 65° = 115°⁩.
3
1. ⁦BD : ⁦⁦DC = 12⁩ : ⁦8 = 3⁩ : 2⁩⁩.
2. ⁦15 : ⁦5 = 3⁩⁩, ולכן ⁦BD = 9⁩ ו־⁦DC = 6⁩.
3. ההפרש ⁦9 − 6 = 3⁩.
113
1. ⁦∠C = 180° − 64° − 46° = 70°⁩.
2. AI ו־CI חוצים את הזוויות A ו־C: ⁦∠IAC = 32°⁩ ו־⁦∠ICA = 35°⁩.
3. במשולש AIC: ⁦∠AIC = 180° − 32° − 35° = 113°⁩.