דף תרגול

חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | תשפ״ז

תרגול אתגר בחוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות לכיתה י׳, 4 יחידות: 10 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

להשתמש במשפט חוצה הזווית כדי לחשב קטעים וצלעות
להוכיח בעזרת המשפט ההפוך שקטע חוצה זווית
להשתמש במשפט נקודת מפגש חוצי הזוויות לנימוק ולחישוב זוויות

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = 6, AC = x, BD = 4⁩ ו־⁦DC = 6⁩. מצאו את x.

⁦⁦6 : ⁦x = 4⁩ : 6⁩⁩.
⁦4x = 36⁩, ולכן ⁦x = 9⁩.

תשובה: ⁦x = 9⁩

תרגול

היקף משולש ABC הוא ⁦30, AB = 8⁩ ו־⁦AC = 12⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מה אורך BD?
במשולש ABC הקטע BE חוצה את זווית B, ו־E על AC. נתון ⁦AB = 6, BC = 9⁩ ו־⁦AC = 10⁩. מה אורך AE?
במשולש ABC חוצי הזוויות של A ושל B נפגשים בנקודה I. נתון ⁦∠A = 50°⁩ ו־⁦∠B = 70°⁩. מה גודל ⁦∠ACI⁩ במעלות?
במשולש ABC חוצי הזוויות של A ושל B נפגשים בנקודה I. נתון ⁦∠C = 80°⁩. מה גודל ⁦∠AIB⁩ במעלות?
במשולש ABC חוצי הזוויות של A ושל B נפגשים בנקודה I. מה הנימוק לכך ש־CI חוצה את זווית C?
1. I אמצע הצלע AB
2. CI מאונך ל־AB בכל משולש
3. שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת, ולכן חוצה זווית C עובר דרך I
4. ⁦AI = BI⁩ בכל משולש
במשולש ABC נתון ⁦AB = 12, AC = 18⁩ ו־⁦BC = 20⁩. הנקודה D על BC ו־⁦BD = 8⁩. נתון ⁦∠BAC = 70°⁩. מה גודל ⁦∠BAD⁩ במעלות?
במשולש ABC נתון ⁦AB = 14, AC = 21⁩ ו־⁦BC = 25⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מה אורך BD?
תלמידה כתבה: "חוצה זווית A עובר תמיד דרך אמצע הצלע BC". מה נכון?
1. רק כאשר ⁦AB = AC⁩; בדרך כלל ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩
2. הטענה נכונה בכל משולש
3. זה נכון רק במשולש ישר זווית
4. חוצה הזווית לעולם אינו עובר דרך אמצע הצלע
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = 10, AC = 15, BD = x⁩ ו־⁦DC = x + 3⁩. מה ערכו של x?
במשולש ABC נתון ⁦AB = 4⁩ ו־⁦AC = 6⁩. הנקודה D על ⁦BC, BD = 2⁩ ו־⁦DC = 3⁩. נתון ⁦∠BAD = 28°⁩. מה גודל ⁦∠BAC⁩ במעלות?

תשובות לתרגול

4
1. ⁦BC = 30 − 8 − 12 = 10⁩.
2. ⁦BD : ⁦⁦DC = 8⁩ : ⁦12 = 2⁩ : 3⁩⁩, כל חלק ⁦10 : ⁦5 = 2⁩⁩.
3. ⁦BD = 2 · 2 = 4⁩.
4
1. כאן הקודקוד הוא B, ולכן ⁦AE : ⁦⁦EC = BA⁩ : ⁦BC = 6⁩ : ⁦9 = 2⁩ : 3⁩⁩.
2. AC מתחלקת ל־5 חלקים, כל חלק 2, ולכן ⁦AE = 4⁩.
30
1. לפי משפט נקודת מפגש חוצי הזוויות, גם חוצה זווית C עובר דרך I, ולכן CI חוצה את זווית C.
2. ⁦∠C = 180° − 50° − 70° = 60°⁩, ולכן ⁦∠ACI = 30°⁩.
130
1. ⁦∠A + ∠B = 180° − 80° = 100°⁩.
2. ⁦∠IAB + ∠IBA⁩ הם חצאי הזוויות A ו־B, ולכן סכומם 50°.
3. במשולש AIB: ⁦∠AIB = 180° − 50° = 130°⁩.
שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת, ולכן חוצה זווית C עובר דרך I
1. חוצה זווית C חייב לעבור דרך נקודת המפגש של שני החוצים האחרים.
2. הקטע מ־C דרך I הוא לכן חוצה זווית C.
35
1. ⁦DC = 20 − 8 = 12⁩, ולכן ⁦BD : ⁦⁦DC = 8⁩ : ⁦12 = 2⁩ : 3⁩⁩. גם ⁦AB : ⁦⁦AC = 12⁩ : ⁦18 = 2⁩ : 3⁩⁩.
2. D על BC והיחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך AD חוצה את זווית A.
3. ⁦⁦∠BAD = 70°⁩ : ⁦2 = 35°⁩⁩.
10
1. ⁦BD : ⁦⁦DC = 14⁩ : ⁦21 = 2⁩ : 3⁩⁩.
2. ⁦25 : ⁦5 = 5⁩⁩, ולכן ⁦BD = 2 · 5 = 10⁩ ו־⁦DC = 15⁩.
רק כאשר ⁦AB = AC⁩; בדרך כלל ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩
1. לפי המשפט, D אמצע BC בדיוק כאשר היחס AB : AC שווה ל־⁦1 : 1⁩.
2. כאשר AB שונה מ־AC, הקטע הקרוב לצלע הקצרה קצר יותר.
6
1. ⁦x : ⁦(x + 3)⁩⁩ = ⁦⁦10 : ⁦15 = 2⁩ : 3⁩⁩.
2. ⁦3x = 2x + 6⁩, ולכן ⁦x = 6⁩.
3. בדיקה: ⁦BC = 6 + 9 = 15⁩, והצלעות 10, 15 ו־15 יוצרות משולש.
56
1. ⁦BD : ⁦⁦DC = 2⁩ : 3⁩⁩ ו־⁦AB : ⁦⁦AC = 4⁩ : ⁦6 = 2⁩ : 3⁩⁩.
2. D על BC והיחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך AD חוצה את זווית A.
3. ⁦∠BAC = 2 · 28° = 56°⁩.