דף תרגול

חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | תרגול רמה 2 | ביסוס | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | תשפ״ז

תרגול ביסוס בחוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות לכיתה י׳, 4 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

להשתמש במשפט חוצה הזווית כדי לחשב קטעים וצלעות
להוכיח בעזרת המשפט ההפוך שקטע חוצה זווית
להשתמש במשפט נקודת מפגש חוצי הזוויות לנימוק ולחישוב זוויות

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

במשולש ABC הנקודה D על ⁦BC, BD = 4, DC = 6, AB = 8⁩ ו־⁦AC = 12⁩. הוכיחו ש־AD חוצה את זווית A.

⁦BD : ⁦DC = 4⁩ : ⁦6 = 2⁩ : 3⁩.
⁦AB : ⁦AC = 8⁩ : ⁦12 = 2⁩ : 3⁩.
D על הצלע BC והיחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית AD חוצה את זווית A.

תשובה: AD חוצה את זווית A

תרגול

במשולש ABC הנקודה D על BC. נתון ⁦BD = 3, DC = 5, AB = 6⁩ ו־⁦AC = 10⁩. מה אפשר להסיק?
1. AD מאונך ל־BC
2. AD חוצה את זווית A
3. D אמצע BC
4. אי אפשר להסיק דבר על AD
במשולש ABC הנקודה D על BC. נתון ⁦BD = 4, DC = 6, AB = 5⁩ ו־⁦AC = 8⁩. האם AD חוצה את זווית A?
1. כן, כי D על הצלע BC
2. כן, כי AC ארוכה מ־AB
3. אי אפשר לדעת בלי גודל הזווית
4. לא, כי היחס ⁦4 : 6⁩ שונה מהיחס ⁦5 : 8⁩
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦BD = 6, DC = 9⁩ ו־⁦AC = 12⁩. מה אורך AB?
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = 10, AC = 15⁩ ו־⁦BD = 4⁩. מה היקף המשולש ABC?
במשולש ABC נתון ⁦AB : ⁦⁦AC = 2⁩ : 3⁩⁩ ו־⁦BC = 20⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מה אורך BD?
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = x, AC = x + 4, BD = 6⁩ ו־⁦DC = 9⁩. מה ערכו של x?
תלמיד כתב: "AD חוצה את זווית A, ולכן ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : BC⁩". מה התיקון?
1. ⁦BD : ⁦DC = AC⁩ : BC⁩
2. ⁦BD : ⁦DC = BC⁩ : AB⁩
3. ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩
4. אין טעות בכתיבה
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦BD : ⁦⁦DC = 3⁩ : 4⁩⁩ ו־⁦AB = 9⁩. מה אורך AC?

תשובות לתרגול

AD חוצה את זווית A
1. בודקים את היחסים: ⁦BD : ⁦⁦DC = 3⁩ : 5⁩⁩, ו־⁦AB : ⁦⁦AC = 6⁩ : ⁦10 = 3⁩ : 5⁩⁩.
2. היחסים שווים ו־D על BC, ולכן לפי המשפט ההפוך AD חוצה את זווית A.
לא, כי היחס ⁦4 : 6⁩ שונה מהיחס ⁦5 : 8⁩
1. ⁦⁦4 : ⁦6 = 2⁩ : 3⁩⁩, ואילו ⁦5 : 8⁩ אינו שווה ל־⁦2 : 3⁩ (כי ⁦2 · 8 = 16⁩ ו־⁦3 · 5 = 15)⁩.
2. היחסים שונים, ולכן לפי משפט חוצה הזווית AD אינו יכול לחצות את זווית A.
8
1. ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩.
2. ⁦⁦6 : ⁦9 = AB⁩ : 12⁩⁩, ולכן ⁦⁦AB = 6 · 12⁩ : ⁦9 = 8⁩⁩.
35
1. ⁦BD : ⁦⁦DC = 10⁩ : ⁦15 = 2⁩ : 3⁩⁩, ולכן ⁦⁦DC = 4 · 3⁩ : ⁦2 = 6⁩⁩.
2. ⁦BC = 4 + 6 = 10⁩.
3. היקף = ⁦10 + 15 + 10 = 35⁩.
8
1. ⁦BD : ⁦⁦DC = AB⁩ : ⁦AC = 2⁩ : 3⁩⁩.
2. ⁦20 : ⁦5 = 4⁩⁩, ולכן ⁦BD = 2 · 4 = 8⁩.
8
1. לפי המשפט: ⁦x : ⁦(x + 4) = 6⁩ : 9⁩.
2. ⁦9x = 6x + 24⁩, ולכן ⁦3x = 24⁩ ו־⁦x = 8⁩.
3. בדיקה: הצלעות 8, 12 ו־15 יוצרות משולש, ו־⁦⁦8 : ⁦12 = 6⁩ : 9⁩⁩.
⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩
1. ביחס משתתפות שתי הצלעות שיוצאות מקודקוד A, כלומר AB ו־AC.
2. BC היא הצלע שמחולקת, ולכן היא לא חלק מהיחס.
12
1. ⁦AB : ⁦⁦AC = BD⁩ : ⁦DC = 3⁩ : 4⁩⁩.
2. ⁦⁦9 : ⁦AC = 3⁩ : 4⁩⁩, ולכן ⁦⁦AC = 9 · 4⁩ : ⁦3 = 12⁩⁩.