דף תרגול

פונקציות טריגונומטריות | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | פונקציות טריגונומטריות | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה בפונקציות טריגונומטריות לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

לחשב ערכים של sin, cos ו־tan לכל זווית בעזרת מעגל היחידה
להשתמש בזהויות בסיסיות לפישוט ולמעבר בין פונקציות
לפתור משוואות טריגונומטריות בסיסיות בתחום נתון

לפני שמתחילים

ציירו מעגל יחידה: cos הוא שיעור ה־x ו־sin שיעור ה־y. מצאו זווית בסיסית חדה, ואז בחרו רביעים לפי הסימן.

תזכורת

⁦sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2⁩.
⁦sin 45° = cos 45° = √2/2⁩.
⁦tan 60° = √3, tan 45° = 1⁩.
⁦sin²α + cos²α = 1⁩.

שאלות

שאלה 1

מהו ⁦sin 150°⁩?

אפשרויות: ⁦1/2⁩ | ⁦−1/2⁩ | ⁦√3/2⁩ | ⁦−√3/2⁩

..........................................................

שאלה 2

מהו ⁦cos 120°⁩?

אפשרויות: ⁦−1/2⁩ | ⁦1/2⁩ | ⁦√3/2⁩ | ⁦−√3/2⁩

..........................................................

שאלה 3

⁦sin α = 0.6⁩ ו־α ברביע השני. מהו ⁦cos α⁩?

אפשרויות: ⁦−0.8⁩ | 0.8 | 0.6 | ⁦−0.6⁩

..........................................................

שאלה 4

מהו ⁦cos(−60°)⁩?

אפשרויות: ⁦1/2⁩ | ⁦−1/2⁩ | ⁦√3/2⁩ | ⁦−√3/2⁩

..........................................................

שאלה 5

פתרו ⁦sin x = 1/2⁩ בתחום ⁦0° ≤ x ≤ 360°⁩.

אפשרויות: 30°, 150° | 30°, 330° | 60°, 120° | 30° בלבד

..........................................................

שאלה 6

פתרו ⁦tan x = −1⁩ בתחום ⁦0° ≤ x ≤ 360°⁩.

אפשרויות: 135°, 315° | 45°, 225° | 135°, 225° | 225°, 315°

..........................................................

שאלה 7

פשטו את ⁦(1 − cos²α) ÷ sin α⁩, כאשר ⁦sin α⁩ ≠ 0.

אפשרויות: ⁦sin α⁩ | ⁦cos α⁩ | 1 | ⁦tan α⁩

..........................................................

שאלה 8

⁦sin α = 3/5⁩ ו־⁦cos α = −4/5⁩. מהו ⁦tan α⁩?

אפשרויות: ⁦−3/4⁩ | ⁦3/4⁩ | ⁦−4/3⁩ | ⁦4/3⁩

..........................................................

שאלה 9

פתרו ⁦2cos x = √3⁩ בתחום ⁦0° ≤ x ≤ 360°⁩.

אפשרויות: 30°, 330° | 30°, 150° | 60°, 300° | 150°, 210°

..........................................................

שאלה 10

פתרו ⁦2sin²x = 1⁩ בתחום ⁦0° ≤ x ≤ 360°⁩.

אפשרויות: 45°, 135°, 225°, 315° | 45°, 135° | 45°, 225° | 30°, 150°, 210°, 330°

..........................................................

שאלה 11

פתרו ⁦sin x = cos x⁩ בתחום ⁦0° ≤ x ≤ 360°⁩.

אפשרויות: 45°, 225° | 45°, 135° | 45° בלבד | 135°, 315°

..........................................................

שאלה 12

פתרו ⁦cos²x − cos x = 0⁩ בתחום ⁦0° ≤ x ≤ 360°⁩.

אפשרויות: 0°, 90°, 270°, 360° | 90°, 270° | 0°, 360° | 0°, 90°, 180°

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: ⁦1/2⁩

150° ברביע השני, שבו ⁦sin⁩ חיובי.
⁦sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: ⁦−1/2⁩

120° ברביע השני, שבו ⁦cos⁩ שלילי.
⁦cos 120° = −cos 60° = −1/2⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: ⁦−0.8⁩

⁦cos²α = 1 − 0.36 = 0.64⁩, ולכן |⁦cos α⁩| = 0.8.
ברביע השני ⁦cos⁩ שלילי: ⁦cos α = −0.8⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: ⁦1/2⁩

⁦cos⁩ היא פונקציה זוגית: ⁦cos(−α) = cos α⁩.
⁦cos(−60°) = cos 60° = 1/2⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 30°, 150°

הפתרון הבסיסי: ⁦x = 30°⁩.
⁦sin⁩ חיובי גם ברביע השני: ⁦x = 180° − 30° = 150°⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 135°, 315°

⁦tan⁩ שלילי ברביע השני והרביעי.
הזווית הבסיסית 45°: ⁦180° − 45° = 135°⁩ ו־⁦360° − 45° = 315°⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: ⁦sin α⁩

לפי זהות היסוד: ⁦1 − cos²α = sin²α⁩.
⁦sin²α ÷ sin α = sin α⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: ⁦−3/4⁩

⁦tan α = sin α ÷ cos α⁩.
⁦(3/5) ÷ (−4/5) = −3/4⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 30°, 330°

⁦cos x = √3/2⁩.
הזווית הבסיסית 30°; ⁦cos⁩ חיובי ברביע הראשון והרביעי.
⁦x = 30°⁩ או ⁦x = 360° − 30° = 330°⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 45°, 135°, 225°, 315°

⁦sin²x = 1/2⁩, ולכן ⁦sin x = √2/2⁩ או ⁦sin x = −√2/2⁩.
⁦sin x = √2/2⁩: 45°, 135°.
⁦sin x = −√2/2⁩: 225°, 315°.

הצגת פתרון מלא

שאלה 11: 45°, 225°

⁦cos x⁩ ≠ 0 בפתרונות (אחרת גם ⁦sin x = 0⁩, וזה בלתי אפשרי), לכן מחלקים: ⁦tan x = 1⁩.
⁦tan⁩ חיובי ברביע הראשון והשלישי: 45° ו־225°.

הצגת פתרון מלא

שאלה 12: 0°, 90°, 270°, 360°

מוציאים גורם משותף: ⁦cos x (cos x − 1) = 0⁩.
⁦cos x = 0⁩: 90°, 270°.
⁦cos x = 1⁩: 0°, 360°.