דף תרגול

יחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | יחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה ביחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים לכיתה י׳, 5 יחידות: 12 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

מטרות הלמידה

לזהות קטעים מתאימים בשני משולשים דומים לפי ההתאמה
לחשב היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים בעזרת יחס הדמיון, בשני הכיוונים
לנמק בעזרת משולשי עזר דומים מדוע כל אורך מתאים מקיים את יחס הדמיון

לפני שמתחילים

כתבו קודם את ההתאמה בין הקודקודים, ומצאו את k מזוג אורכים מתאים. כל אורך מתאים אחר מקיים את אותו יחס k.

תזכורת

כותבים את ההתאמה בין הקודקודים.
⁦k = DE⁩ : AB, מזוג אורכים מתאים.
היקפים, תיכונים, חוצי זוויות, רדיוס חוסם ורדיוס חסום: כולם ביחס k.
תיכון: ABM דומה ל־DEN (צלע־זווית־צלע).

שאלות

שאלה 1

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. אורכי הצלעות של ABC הם 5, 6 ו־7, ויחס הדמיון מ־ABC ל־DEF הוא 3. מה היקף המשולש DEF?

..........................................................

שאלה 2

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦AB = 6⁩ ו־⁦DE = 9. AM⁩ הוא התיכון לצלע BC, ו־⁦AM = 8⁩. מה אורך התיכון DN לצלע EF?

..........................................................

שאלה 3

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦AB = 12⁩ ו־⁦DE = 4⁩. רדיוס המעגל החסום במשולש ABC הוא 3. מה רדיוס המעגל החסום במשולש DEF?

..........................................................

שאלה 4

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦BC = 10⁩ ו־⁦EF = 15⁩. רדיוס המעגל החוסם את ABC הוא 6. מה רדיוס המעגל החוסם את DEF?

..........................................................

שאלה 5

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦AC = 8⁩ ו־⁦DF = 6. AL⁩ חוצה את זווית A ו־L על BC, ו־⁦AL = 7. DP⁩ חוצה את זווית D ו־P על EF. מה אורך DP?

..........................................................

שאלה 6

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. היקף ABC הוא 24 והיקף DEF הוא 36. נתון ⁦AB = 6⁩. מה אורך DE?

..........................................................

שאלה 7

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. AM הוא התיכון לצלע BC ו־DN הוא התיכון לצלע EF. נתון ⁦AM = 10, DN = 4⁩ ו־⁦EF = 6⁩. מה אורך BC?

..........................................................

שאלה 8

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. רדיוס המעגל החסום ב־ABC הוא 2 ורדיוס המעגל החסום ב־DEF הוא 5. נתון ⁦DE = 20⁩. מה אורך AB?

..........................................................

שאלה 9

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦AB = 7, BC = 8⁩ ו־⁦AC = 9⁩. היקף DEF הוא 36. מה אורך EF?

..........................................................

שאלה 10

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦AB = x⁩ ו־⁦DE = x + 3⁩. היקף ABC הוא 20 והיקף DEF הוא 32. מה ערכו של x?

..........................................................

שאלה 11

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. יחס רדיוסי המעגלים החוסמים של ABC ושל DEF הוא ⁦2 : 3⁩, ונתון ⁦EF − BC = 4⁩. מה אורך BC?

..........................................................

שאלה 12

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. AM ו־DN הם התיכונים לצלעות BC ו־EF. מהו הנימוק לכך ש־AM : ⁦DN = k⁩?

(א) ⁦AM = DN⁩ כי תיכונים מתאימים שווים זה לזה

(ב) המשולשים ABM ו־DEN דומים לפי צלע־זווית־צלע: ⁦AB : ⁦DE = BM⁩ : EN⁩ ו־⁦∠B = ∠E⁩

(ג) המשולשים ABM ו־DEN חופפים

(ד) AM : ⁦DN = k⁩ בריבוע כי התיכון מחלק את המשולש לשניים

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 54

היקף ⁦ABC = 5 + 6 + 7 = 18⁩.
יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, ולכן היקף ⁦DEF = 3 · 18 = 54⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: 12

k = ⁦DE : ⁦⁦AB = 9⁩ : 6⁩⁩ = 1.5.
התיכון מ־D לצלע EF מתאים לתיכון מ־A לצלע BC, ולכן ⁦DN = 1.5 · 8 = 12⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 1

k = ⁦DE : ⁦⁦AB = 4⁩ : 12⁩⁩, כלומר DEF קטן פי 3.
יחס רדיוסי המעגלים החסומים שווה ל־k, ולכן הרדיוס הוא ⁦3 : ⁦3 = 1⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: 9

k = ⁦EF : ⁦⁦BC = 15⁩ : 10⁩⁩ = 1.5.
יחס רדיוסי המעגלים החוסמים שווה ל־k, ולכן הרדיוס הוא ⁦1.5 · 6 = 9⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 5.25

k = ⁦DF : ⁦⁦AC = 6⁩ : 8⁩⁩ = 0.75.
DP מתאים ל־AL (שניהם חוצים זוויות מתאימות), ולכן ⁦DP = 0.75 · 7 = 5.25⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 9

⁦⁦k = 36⁩ : ⁦24 = 1.5⁩⁩, כי יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.
DE מתאימה ל־AB, ולכן ⁦DE = 1.5 · 6 = 9⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 15

התיכונים מתאימים, ולכן k = ⁦DN : ⁦⁦AM = 4⁩ : 10⁩⁩ = 0.4.
BC = ⁦EF : ⁦⁦0.4 = 6⁩ : 0.4⁩⁩ = 15.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: 8

⁦⁦k = 5⁩ : ⁦2 = 2.5⁩⁩ (מ־ABC ל־DEF).
AB = ⁦DE : ⁦⁦2.5 = 20⁩ : 2.5⁩⁩ = 8.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 12

היקף ⁦ABC = 7 + 8 + 9 = 24⁩, ולכן ⁦⁦k = 36⁩ : ⁦24 = 1.5⁩⁩.
EF מתאימה ל־BC, ולכן ⁦EF = 1.5 · 8 = 12⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 5

⁦⁦k = 32⁩ : ⁦20 = 1.6⁩⁩, ולכן ⁦x + 3 = 1.6x⁩.
⁦0.6x = 3⁩, ולכן ⁦x = 5⁩ ו־⁦DE = 8⁩.
בדיקה: ⁦8 : ⁦5 = 1.6⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 11: 8

⁦⁦k = 3⁩ : ⁦2 = 1.5⁩⁩, ולכן ⁦EF = 1.5 · BC⁩.
⁦1.5 · BC − BC = 0.5 · BC = 4⁩, ולכן ⁦BC = 8⁩ ו־⁦EF = 12⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 12: המשולשים ABM ו־DEN דומים לפי צלע־זווית־צלע: ⁦AB : ⁦DE = BM⁩ : EN⁩ ו־⁦∠B = ∠E⁩

⁦⁦BM = BC⁩ : 2⁩ ו־⁦⁦EN = EF⁩ : 2⁩, ולכן ⁦BM : ⁦⁦EN = BC⁩ : ⁦EF = AB⁩⁩ : DE⁩.
⁦∠B = ∠E⁩ כזוויות מתאימות, ולכן ABM דומה ל־DEN (צלע־זווית־צלע), ו־⁦AM : ⁦DN = AB⁩ : DE⁩ = k.