דף תרגול

יחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | יחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים | תשפ״ז

תרגול אתגר ביחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים לכיתה י׳, 5 יחידות: 9 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

לזהות קטעים מתאימים בשני משולשים דומים לפי ההתאמה
לחשב היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים בעזרת יחס הדמיון, בשני הכיוונים
לנמק בעזרת משולשי עזר דומים מדוע כל אורך מתאים מקיים את יחס הדמיון

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. AM ו־DN תיכונים לצלעות BC ו־EF. הוכיחו ש־⁦AM : ⁦DN = AB⁩ : DE⁩.

⁦⁦BM = BC⁩ : 2⁩ ו־⁦⁦EN = EF⁩ : 2⁩, ולכן ⁦BM : ⁦⁦EN = BC⁩ : ⁦EF = AB⁩⁩ : DE⁩.
⁦∠B = ∠E⁩ כזוויות מתאימות במשולשים דומים.
לפי צלע־זווית־צלע ABM דומה ל־DEN, ולכן ⁦AM : ⁦DN = AB⁩ : DE⁩ = k.

תשובה: AM : ⁦DN = k⁩

תרגול

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. רדיוס המעגל החסום ב־ABC הוא 2 וב־DEF הוא 3. התיכון מ־A לצלע BC הוא 7. מה אורך התיכון מ־D לצלע EF?
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. AL חוצה את זווית A ב־ABC ו־DP חוצה את זווית D ב־DEF. נתון ⁦AL = 8⁩ ו־⁦DP = 12⁩. רדיוס המעגל החוסם את DEF הוא 9. מה רדיוס המעגל החוסם את ABC?
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦AB = x⁩ ו־⁦DE = x + 3⁩. היקף ABC הוא 20 והיקף DEF הוא 32. מה ערכו של x?
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. יחס רדיוסי המעגלים החוסמים של ABC ושל DEF הוא ⁦2 : 3⁩, ונתון ⁦EF − BC = 4⁩. מה אורך BC?
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. AM ו־DN הם התיכונים לצלעות BC ו־EF. מהו הנימוק לכך ש־AM : ⁦DN = k⁩?
1. ⁦AM = DN⁩ כי תיכונים מתאימים שווים זה לזה
2. המשולשים ABM ו־DEN חופפים
3. המשולשים ABM ו־DEN דומים לפי צלע־זווית־צלע: ⁦AB : ⁦DE = BM⁩ : EN⁩ ו־⁦∠B = ∠E⁩
4. AM : ⁦DN = k⁩ בריבוע כי התיכון מחלק את המשולש לשניים
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. AL חוצה את זווית A ו־DP חוצה את זווית D (L על BC, P על EF). מהו הנימוק לכך ש־AL : ⁦DP = k⁩?
1. המשולשים ABL ו־DEP דומים לפי זווית־זווית: ⁦∠B = ∠E⁩ ו־⁦∠BAL = ∠EDP⁩
2. חוצה זווית תמיד שווה לתיכון
3. L ו־P הם אמצעי הצלעות BC ו־EF
4. ⁦AL : ⁦DP = BL⁩ : LC⁩ לפי משפט חוצה הזווית
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. I היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות ב־ABC ו־J ב־DEF, והן מרכזי המעגלים החסומים. מהו הנימוק לכך שיחס הרדיוסים הוא k?
1. I ו־J הם אמצעי הצלעות BC ו־EF
2. הרדיוס החסום שווה תמיד לחצי התיכון
3. יחס הרדיוסים שווה ליחס ההיקפים בריבוע
4. המשולשים IBC ו־JEF דומים לפי זווית־זווית, והרדיוסים הם הגבהים המתאימים לצלעות BC ו־EF
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦AB = 6⁩ ו־⁦DE = 9⁩. התיכון מ־A לצלע BC הוא 8. תלמיד חישב את התיכון מ־E לצלע DF כ־⁦1.5 · 8 = 12⁩. מה הטעות?
1. היה צריך לכפול ב־1.5 בריבוע
2. התיכון מ־A מתאים לתיכון מ־D, לא לתיכון מ־E
3. היה צריך לחלק ב־1.5
4. אין טעות בחישוב
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. שני המשולשים חדי זווית. O ו־Q הם מרכזי המעגלים החוסמים (נקודות המפגש של האנכים האמצעיים). מהו הנימוק לכך ש־OB : ⁦QE = k⁩?
1. O ו־Q הם אמצעי הצלעות BC ו־EF
2. OB שווה תמיד לתיכון מ־A
3. OB : ⁦QE = k⁩ בריבוע כי מדובר במעגל
4. ⁦∠OBC = 90° − ∠A⁩ ו־⁦∠QEF = 90° − ∠D⁩, ולכן OBC דומה ל־QEF לפי זווית־זווית

תשובות לתרגול

10.5
1. מהרדיוסים: ⁦⁦k = 3⁩ : ⁦2 = 1.5⁩⁩.
2. התיכונים מתאימים, ולכן התיכון ב־DEF הוא ⁦1.5 · 7 = 10.5⁩.
6
1. מחוצי הזוויות המתאימים: ⁦⁦k = 12⁩ : ⁦8 = 1.5⁩⁩.
2. רדיוס המעגל החוסם את ABC הוא ⁦9 : ⁦1.5 = 6⁩⁩.
5
1. ⁦⁦k = 32⁩ : ⁦20 = 1.6⁩⁩, ולכן ⁦x + 3 = 1.6x⁩.
2. ⁦0.6x = 3⁩, ולכן ⁦x = 5⁩ ו־⁦DE = 8⁩.
3. בדיקה: ⁦8 : ⁦5 = 1.6⁩⁩.
8
1. ⁦⁦k = 3⁩ : ⁦2 = 1.5⁩⁩, ולכן ⁦EF = 1.5 · BC⁩.
2. ⁦1.5 · BC − BC = 0.5 · BC = 4⁩, ולכן ⁦BC = 8⁩ ו־⁦EF = 12⁩.
המשולשים ABM ו־DEN דומים לפי צלע־זווית־צלע: ⁦AB : ⁦DE = BM⁩ : EN⁩ ו־⁦∠B = ∠E⁩
1. ⁦⁦BM = BC⁩ : 2⁩ ו־⁦⁦EN = EF⁩ : 2⁩, ולכן ⁦BM : ⁦⁦EN = BC⁩ : ⁦EF = AB⁩⁩ : DE⁩.
2. ⁦∠B = ∠E⁩ כזוויות מתאימות, ולכן ABM דומה ל־DEN (צלע־זווית־צלע), ו־⁦AM : ⁦DN = AB⁩ : DE⁩ = k.
המשולשים ABL ו־DEP דומים לפי זווית־זווית: ⁦∠B = ∠E⁩ ו־⁦∠BAL = ∠EDP⁩
1. ⁦∠BAL⁩ הוא חצי ⁦∠A⁩ ו־⁦∠EDP⁩ הוא חצי ⁦∠D⁩, ו־⁦∠A = ∠D⁩, ולכן ⁦∠BAL = ∠EDP⁩.
2. גם ⁦∠B = ∠E⁩, ולכן ABL דומה ל־DEP (זווית־זווית), ו־⁦AL : ⁦DP = AB⁩ : DE⁩ = k.
המשולשים IBC ו־JEF דומים לפי זווית־זווית, והרדיוסים הם הגבהים המתאימים לצלעות BC ו־EF
1. ⁦⁦∠IBC = ∠B⁩ : ⁦2 = ∠E⁩ : ⁦2 = ∠JEF⁩⁩, ובאותו אופן ⁦∠ICB = ∠JFE⁩, ולכן IBC דומה ל־JEF ביחס EF : ⁦BC = k⁩.
2. הרדיוס הוא המרחק מ־I לצלע BC, כלומר הגובה מ־I במשולש IBC. גבהים מתאימים במשולשים דומים מקיימים את יחס הדמיון, ולכן יחס הרדיוסים הוא k.
התיכון מ־A מתאים לתיכון מ־D, לא לתיכון מ־E
1. יחס k מקשר רק בין קטעים מתאימים.
2. לתיכון מ־A לצלע BC מתאים התיכון מ־D לצלע EF, והוא שווה 12. על התיכון מ־E אי אפשר לדעת מהנתונים.
⁦∠OBC = 90° − ∠A⁩ ו־⁦∠QEF = 90° − ∠D⁩, ולכן OBC דומה ל־QEF לפי זווית־זווית
1. ⁦OA = OB = OC⁩, ולכן המשולשים OAB, OBC, OCA שווי שוקיים. מסכום הזוויות ⁦⁦∠OBC = (∠B + ∠C − ∠A)⁩ : ⁦2 = 90° − ∠A⁩⁩.
2. באותו אופן ⁦∠QEF = 90° − ∠D = ∠OBC⁩, וגם ⁦∠OCB = ∠QFE⁩. לכן OBC דומה ל־QEF ביחס EF : ⁦BC = k⁩, ו־OB : ⁦QE = k⁩.