יחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | יחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים | תשפ״ז
שיעור ביחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים לכיתה י׳, 5 יחידות: ההסבר, ואחריו 4 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
מטרות הלמידה
- לזהות קטעים מתאימים בשני משולשים דומים לפי ההתאמה
- לחשב היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים בעזרת יחס הדמיון, בשני הכיוונים
- לנמק בעזרת משולשי עזר דומים מדוע כל אורך מתאים מקיים את יחס הדמיון
השיעור
קודם ההתאמה
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. יחס הדמיון k = DE : AB = EF : BC = DF : AC. מוצאים את k רק מזוג אורכים מתאימים.
חמישה אורכים, יחס אחד
במשולשים דומים כל אחד מאלה מקיים את היחס k: היקפים, תיכונים מתאימים, חוצי זוויות מתאימים, רדיוסי המעגלים החוסמים ורדיוסי המעגלים החסומים. כולם אורכים, ולכן היחס הוא k ולא k בריבוע.
למה זה נכון
היקף: כל צלע ב־DEF היא k כפול הצלע המתאימה, ולכן גם הסכום. תיכון: ABM דומה ל־DEN (צלע־זווית־צלע). חוצה זווית: ABL דומה ל־DEP (זווית־זווית). מעגל חסום: IBC דומה ל־JEF (חצאי זוויות שוות), והרדיוס הוא הגובה מ־I. מעגל חוסם (משולש חד זווית): ∠OBC = 90° − ∠A, ולכן OBC דומה ל־QEF.
שני כיוונים
קדימה: יודעים k ואורך במשולש אחד, ומכפילים או מחלקים. אחורה: נתונים שני אורכים מתאימים מכל סוג (למשל שני רדיוסים), מהם מוצאים את k, ובעזרתו כל אורך אחר. בודקים בסוף שהמשולש הגדול קיבל את האורך הגדול.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | היקף ותיכון
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. היקף ABC הוא 15, AB = 4 ו־DE = 6. התיכון מ־A לצלע BC הוא 4.5. מצאו את היקף DEF ואת התיכון מ־D לצלע EF.
AB = 4 מתאימה ל־DE = 6, ולכן k = 6 : 4 = 1.5.
יחס ההיקפים הוא k, ולכן היקף DEF = 1.5 · 15 = 22.5.
התיכון מ־D לצלע EF = 1.5 · 4.5 = 6.75.
תשובה: היקף 22.5, תיכון 6.75
דוגמה 2 | מרדיוסים לצלע
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. רדיוס המעגל החוסם את ABC הוא 6 ושל DEF הוא 4. נתון EF = 6. מצאו את BC.
יחס רדיוסי המעגלים החוסמים שווה ל־k: k = 4 : 6 (מ־ABC ל־DEF).
BC = EF : k = 6 · 6 : 4 = 9.
תשובה: BC = 9
דוגמה 3 | הוכחה לתיכונים
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. AM ו־DN תיכונים לצלעות BC ו־EF. הוכיחו ש־AM : DN = AB : DE.
BM = BC : 2 ו־EN = EF : 2, ולכן BM : EN = BC : EF = AB : DE.
∠B = ∠E כזוויות מתאימות במשולשים דומים.
לפי צלע־זווית־צלע ABM דומה ל־DEN, ולכן AM : DN = AB : DE = k.
תשובה: AM : DN = k
דוגמה 4 | הוכחה למעגל החסום
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. I ו־J מרכזי המעגלים החסומים (נקודות המפגש של חוצי הזוויות). הוכיחו שיחס הרדיוסים הוא k.
BI ו־CI חוצים את ∠B ואת ∠C, ו־EJ ו־FJ חוצים את ∠E ואת ∠F. ∠B = ∠E ו־∠C = ∠F, ולכן ∠IBC = ∠JEF ו־∠ICB = ∠JFE.
לפי זווית־זווית IBC דומה ל־JEF ביחס EF : BC = k.
הרדיוס הוא הגובה מ־I לצלע BC, והגובה המתאים ב־JEF הוא הרדיוס השני. גבהים מתאימים מקיימים את יחס הדמיון, ולכן יחס הרדיוסים הוא k.
תשובה: יחס הרדיוסים k