פונקציות שורש | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | פונקציות שורש | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות בפונקציות שורש לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
מטרות הלמידה
- למצוא תחום הגדרה של שורש של ביטוי, כולל שורש במכנה וסכום שורשים
- לפתור משוואות עם שורשים ולפסול פתרונות זרים
- לגזור, למצוא משיק, תחומי עלייה וירידה, קיצון ובעיות קיצון
השיעור
תחום הגדרה
√u דורש u ≥ 0; שורש במכנה דורש u > 0. בסכום של כמה שורשים לוקחים את החיתוך של כל התנאים. כשמתחת לשורש פרבולה, פותרים אי־שוויון ריבועי.
משוואות
מבודדים שורש, מעלים בריבוע, ואם נשאר שורש מבודדים ומעלים שוב. כל פתרון מציבים במשוואה המקורית, כי העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות זרים.
נגזרת
(√u)′ = u′ ÷ (2√u). הנגזרת לא מוגדרת היכן ש־u = 0, ולכן קצוות התחום נבדקים בנפרד כשמחפשים ערכים גדולים וקטנים ביותר.
חקירה וקיצון
מאפסים את הנגזרת, בודקים סימן משני הצדדים, ומשווים לערכי הקצוות. בבעיות קיצון מגדירים את המשתנה, את הפונקציה ואת התחום שלה לפני הגזירה.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | תחום
מצאו את תחום ההגדרה של f(x) = √(x + 2) + 1 ÷ √(4 − x).
x + 2 ≥ 0, כלומר x ≥ −2.
4 − x > 0, כלומר x < 4.
התחום: −2 ≤ x < 4.
תשובה: −2 ≤ x < 4
דוגמה 2 | שני שורשים
פתרו √(x + 5) − √(x − 3) = 2.
√(x + 5) = 2 + √(x − 3). בריבוע: x + 5 = 4 + 4√(x − 3) + x − 3.
4√(x − 3) = 4, ולכן x − 3 = 1, x = 4.
בדיקה: √9 − √1 = 2.
תשובה: x = 4
דוגמה 3 | חקירה
חקרו את f(x) = √(4x − x²).
תחום: 0 ≤ x ≤ 4.
f′(x) = (4 − 2x) ÷ (2√(4x − x²)): חיובית ב־0 < x < 2, שלילית ב־2 < x < 4.
מקסימום (2, 2); בקצוות f = 0.
תשובה: עולה עד 2, יורדת אחר כך, מקסימום (2, 2)
דוגמה 4 | משיק
מצאו את המשיק ל־y = √(x² + 9) בנקודה x = 4.
נקודה (4, 5).
y′ = x ÷ √(x² + 9), ולכן y′(4) = 0.8.
y − 5 = 0.8(x − 4), כלומר y = 0.8x + 1.8.
תשובה: y = 0.8x + 1.8