קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | חזרה משולבת | 8 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

תשובות לתרגול

1. לא, הגרף שלה סימטרי לישר ⁦x = 3⁩ ולא לציר y

   1. הפונקציה החדשה ⁦y = (x − 3)²⁩, והקודקוד שלה ב־⁦(3, 0)⁩.

   2. למשל ב־⁦x = 1⁩ הערך 4 וב־⁦x = −1⁩ הערך 16, ולכן היא לא זוגית.

   3. ציר הסימטריה הוא ⁦x = 3⁩.

2. ⁦x = 0⁩ ו־⁦x = 3⁩

   1. הגרף של g הוא הגרף של f שהוזז יחידה אחת שמאלה.

   2. השורשים של f הם 1 ו־4, ולכן השורשים של g הם 0 ו־3.

   3. בדיקה: ⁦g(x) = x(x − 3)⁩.

3. ⁦x = −2⁩

   1. ⁦f(−2) = −f(2) = −0 = 0⁩.

   2. לכן גם ⁦x = −2⁩ שורש. בפונקציה אי־זוגית השורשים באים בזוגות נגדיים.

4. 4

   1. ⁦x² − 9 = 5⁩ או ⁦x² − 9 = −5⁩.

   2. מהראשונה ⁦x² = 14⁩, ומהשנייה ⁦x² = 4⁩.

   3. כל אחת נותנת שני פתרונות נגדיים: ±⁦√14⁩ ו־±2. בסך הכול 4 פתרונות.

5. ⁦x < −1⁩ או ⁦x > 3⁩

   1. מחפשים ⁦x² > 2x + 3⁩, כלומר ⁦x² − 2x − 3 > 0⁩.

   2. ⁦x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1)⁩, השורשים ⁦−1⁩ ו־3.

   3. הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים.

6. 0

   1. ⁦g(−1) = (−1)³ + 1⁩.

   2. ⁦(−1)³ = −1⁩, ולכן ⁦g(−1) = 0⁩. הגרף של g חותך את ציר x ב־⁦x = −1⁩.

7. ⁦x ≥ 1⁩

   1. ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן צריך ⁦x ≥ 0⁩.

   2. אם ⁦x ≥ 2⁩: ⁦x − 2 ≤ x⁩ תמיד נכון.

   3. אם ⁦0 ≤ x < 2⁩: ⁦2 − x ≤ x⁩, כלומר ⁦x ≥ 1⁩. יחד: ⁦x ≥ 1⁩.

8. ⁦−2 < x < −1⁩ או ⁦1 < x < 2⁩

   1. f זוגית, כי יש בה רק חזקות זוגיות.

   2. ⁦f(x) = (x² − 1)(x² − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)⁩, השורשים ±1 ו־±2.

   3. מימין ל־2 חיובית, בין 1 ל־2 שלילית, בין ⁦−1⁩ ל־1 חיובית. מהזוגיות: גם בין ⁦−2⁩ ל־⁦−1⁩ שלילית.