קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | שיעור בשישה שלבים וחמש דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | תשפ״ז
שיעור בקדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות לכיתה י׳, 5 יחידות: ההסבר, ואחריו 5 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
מטרות הלמידה
- לזהות פונקציה זוגית ואי־זוגית אלגברית וגרפית
- לשרטט באופן איכותי פולינום מתוך שורשיו והסימן שלו
- לפתור אי־שוויונים פולינומיים בטבלת סימנים ובהשוואת גרפים
- לבצע הזזות של גרפים ולקרוא אותן מהנוסחה
- לעבוד עם ערך מוחלט במשוואות, באי־שוויונים ובגרפים
השיעור
שלב 1 | פונקציות חזקה
פונקציית חזקה היא f(x) = xⁿ עם n טבעי. כשהמעריך זוגי, למשל x² ו־x⁴, הערכים אינם שליליים והגרף דומה לפרבולה. כשהמעריך אי־זוגי, למשל x³ ו־x⁵, הסימן של f(x) הוא הסימן של x. ככל שהמעריך גדול יותר, הגרף שטוח יותר ליד 0 ותלול יותר רחוק ממנו.
שלב 2 | זוגיות ואי־זוגיות
פונקציה זוגית: f(−x) = f(x) לכל x, והגרף סימטרי לציר y. פונקציה אי־זוגית: f(−x) = −f(x) לכל x, והגרף סימטרי לראשית הצירים. כדי לבדוק, מציבים −x ומשווים. כדי להראות שפונקציה אינה זוגית מספיקה דוגמה אחת, למשל f(1) ≠ f(−1). רוב הפונקציות אינן זוגיות ואינן אי־זוגיות.
שלב 3 | פולינום באופן איכותי
מתוך צורת מכפלה קוראים את השורשים. בשורש פשוט הגרף חוצה את ציר x והסימן מתחלף. בשורש כפול, גורם בריבוע, הגרף רק נוגע בציר והסימן לא מתחלף. עבור x גדול מאוד, האיבר עם החזקה הגבוהה קובע את הסימן. עם השורשים והסימן בקצה מקבלים שרטוט איכותי, בלי לחשב נקודות קיצון.
שלב 4 | אי־שוויונים בעזרת גרפים
כדי לפתור f(x) > 0 מעבירים הכול לאגף אחד, מפרקים לגורמים ובונים טבלת סימנים: מתחילים מהקצה הימני ומחליפים סימן בכל שורש פשוט. f(x) > g(x) פירושו שהגרף של f מעל הגרף של g; נקודות החיתוך הן שורשי f(x) − g(x). לא מחלקים אי־שוויון ב־x, כי הסימן של x לא ידוע.
שלב 5 | הזזות
f(x) + k מזיזה את הגרף k יחידות למעלה (ולמטה כש־k שלילי). f(x − h) מזיזה את הגרף h יחידות ימינה, ו־f(x + h) מזיזה שמאלה. כל נקודה (a, b) על הגרף של f עוברת ל־(a + h, b + k) על הגרף של f(x − h) + k. שורשים זזים עם ההזזה האופקית.
שלב 6 | ערך מוחלט
|a| הוא המרחק של a מ־0: |a| = a כש־a ≥ 0, ו־|a| = −a כש־a < 0. |x − c| הוא המרחק של x מ־c, ולכן |x − c| < r פירושו c − r < x < c + r. הגרף של |f(x)| מתקבל מהגרף של f: החלק שמעל ציר x נשאר, והחלק שמתחת משתקף מעליו. במשוואה |A| = r עם r > 0 בודקים שני מקרים: A = r ו־A = −r.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | בדיקת זוגיות
קבעו אם f(x) = x⁴ − 3x² זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן, ואם g(x) = x³ + 2 כזו.
f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x² = f(x), ולכן f זוגית.
g(1) = 3 ו־g(−1) = 1. אלה לא שווים, ולכן g לא זוגית.
−g(1) = −3 ≠ 1 = g(−1), ולכן g גם לא אי־זוגית.
תשובה: f זוגית; g לא זוגית ולא אי־זוגית
דוגמה 2 | שרטוט איכותי
תארו את הגרף של f(x) = (x + 2)(x − 1)².
שורשים: x = −2 פשוט, x = 1 כפול.
עבור x גדול מאוד f(x) חיובית, כמו x³.
מימין ל־1 חיובית; ב־1 נוגעת בציר ונשארת חיובית; ב־−2 חוצה, ומשמאל לו שלילית.
חיתוך עם ציר y: f(0) = 2 · 1 = 2.
תשובה: חוצה ב־x = −2, נוגעת ב־x = 1, חותכת את ציר y ב־2
דוגמה 3 | אי־שוויון פולינומי
פתרו את x³ ≥ x.
מעבירים לאגף אחד: x³ − x ≥ 0, ומפרקים x(x − 1)(x + 1) ≥ 0.
שורשים פשוטים −1, 0, 1. מימין ל־1 חיובי.
מחליפים סימן בכל שורש: שלילי בין 0 ל־1, חיובי בין −1 ל־0, שלילי משמאל ל־−1.
כולל השורשים, כי ≥.
תשובה: −1 ≤ x ≤ 0 או x ≥ 1
דוגמה 4 | הזזה
הגרף של f(x) = x³ − x חותך את ציר x ב־−1, 0 ו־1. היכן חותך את ציר x הגרף של g(x) = f(x − 2)?
g היא הזזה של f שתי יחידות ימינה.
כל שורש זז ב־2: 1, 2 ו־3.
בדיקה: g(3) = f(1) = 0.
תשובה: x = 1, x = 2, x = 3
דוגמה 5 | ערך מוחלט
פתרו את |x − 3| > 2 ותארו את הגרף של y = |x − 3|.
|x − 3| הוא המרחק של x מ־3.
מרחק גדול מ־2: x < 1 או x > 5.
הגרף של y = |x − 3| הוא הגרף של y = |x| שהוזז 3 יחידות ימינה: צורת V עם קודקוד ב־(3, 0).
תשובה: x < 1 או x > 5