נקודות, קטעים וישרים במישור | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | נקודות, קטעים וישרים במישור | תשפ״ז
דף עבודה להדפסה בנקודות, קטעים וישרים במישור לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
מטרות הלמידה
- לחשב מרחק, אמצע ושיפוע ולכתוב משוואת ישר
- לזהות ישרים מקבילים ומאונכים ולמצוא אנך אמצעי
- לפתור בעיות במשולשים ובמרובעים בעזרת כלים אנליטיים
לפני שמתחילים
כתבו את הנתונים כנקודות. מקביל: אותו שיפוע. מאונך: מכפלת שיפועים −1. אמצע: ממוצע שיעורים.
תזכורת
- מרחק: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
- אמצע: ממוצע השיעורים.
- שיפוע: (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
- y − y₁ = m(x − x₁).
שאלות
שאלה 1
מה המרחק בין הנקודות (1, 2) ו־(4, 6)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 2
מהי נקודת האמצע של הקטע שקצותיו (2, −4) ו־(6, 8)?
אפשרויות: (4, 2) | (4, 6) | (2, 4) | (8, 4)
..........................................................
..........................................................
שאלה 3
מהו שיפוע ישר המאונך לישר ששיפועו 2/3?
אפשרויות: −3/2 | 3/2 | −2/3 | 2/3
..........................................................
..........................................................
שאלה 4
הנקודה M(3, 1) היא אמצע הקטע AB, ו־A(1, −2). מהן הקואורדינטות של B?
אפשרויות: (5, 4) | (2, −0.5) | (4, 5) | (5, 0)
..........................................................
..........................................................
שאלה 5
מהי משוואת הישר שעובר דרך (2, 1) ומאונך ל־y = −x/2 + 5?
אפשרויות: y = 2x − 3 | y = −2x + 5 | y = x/2 | y = 2x + 1
..........................................................
..........................................................
שאלה 6
מהי משוואת האנך האמצעי לקטע שקצותיו A(0, 0) ו־B(4, 2)?
אפשרויות: y = −2x + 5 | y = 2x − 3 | y = −x/2 + 2 | y = −2x + 1
..........................................................
..........................................................
שאלה 7
הנקודה P נמצאת על ציר ה־y, במרחקים שווים מ־(2, 0) ומ־(4, 2). מהו שיעור ה־y שלה?
..........................................................
..........................................................
שאלה 8
במשולש A(1, 1), B(4, 2), C(3, 5). באיזה קודקוד הזווית ישרה?
אפשרויות: B | A | C | אין במשולש זווית ישרה
..........................................................
..........................................................
שאלה 9
הנקודות A(0, 0), B(5, 1) ו־C(7, 4) הן קודקודים עוקבים של המקבילית ABCD. מהן הקואורדינטות של D?
אפשרויות: (2, 3) | (12, 5) | (−2, −3) | (3, 2)
..........................................................
..........................................................
שאלה 10
לאיזה k הנקודות A(1, 2), B(3, k) ו־C(5, 10) על ישר אחד?
..........................................................
..........................................................
שאלה 11
במרובע ABCD הקודקודים הם A(0, 0), B(3, 4), C(8, 4), D(5, 0). מה סוג המרובע?
אפשרויות: מעוין | ריבוע | מלבן שאינו ריבוע | טרפז
..........................................................
..........................................................
שאלה 12
מהו מרכז המעגל החוסם את המשולש A(0, 0), B(8, 0), C(0, 6)?
אפשרויות: (4, 3) | (3, 4) | (8, 6) | (2, 3)
..........................................................
..........................................................
פתרונות
הצגת פתרון מלא
שאלה 1: 5
-
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
-
√(3² + 4²) = √25 = 5.
הצגת פתרון מלא
שאלה 2: (4, 2)
-
אמצע: ממוצע השיעורים.
-
x = (2 + 6) ÷ 2 = 4, y = (−4 + 8) ÷ 2 = 2.
הצגת פתרון מלא
שאלה 3: −3/2
-
בישרים מאונכים מכפלת השיפועים −1.
-
(2/3) · m = −1, ולכן m = −3/2.
הצגת פתרון מלא
שאלה 4: (5, 4)
-
x_B = 2 · 3 − 1 = 5.
-
y_B = 2 · 1 − (−2) = 4.
הצגת פתרון מלא
שאלה 5: y = 2x − 3
-
שיפוע הישר הנתון −1/2, ולכן השיפוע המאונך 2.
-
y − 1 = 2(x − 2), כלומר y = 2x − 3.
הצגת פתרון מלא
שאלה 6: y = −2x + 5
-
אמצע AB: (2, 1). שיפוע AB: 2/4 = 1/2.
-
האנך האמצעי עובר דרך האמצע עם שיפוע −2.
-
y − 1 = −2(x − 2), כלומר y = −2x + 5.
הצגת פתרון מלא
שאלה 7: 4
-
P(0, y). משווים ריבועי מרחקים: 4 + y² = 16 + (y − 2)².
-
4 + y² = 16 + y² − 4y + 4, ולכן 4y = 16.
-
y = 4.
הצגת פתרון מלא
שאלה 8: B
-
שיפוע AB: 1/3. שיפוע BC: (5 − 2) ÷ (3 − 4) = −3.
-
(1/3) · (−3) = −1, ולכן AB ⊥ BC.
-
הזווית הישרה בקודקוד B.
הצגת פתרון מלא
שאלה 9: (2, 3)
-
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה: אמצע AC = אמצע BD.
-
אמצע AC: (3.5, 2).
-
D = (2 · 3.5 − 5, 2 · 2 − 1) = (2, 3).
הצגת פתרון מלא
שאלה 10: 6
-
B נמצאת באמצע בין A ל־C בשיעור x (3 = (1 + 5) ÷ 2).
-
על ישר, לכן גם בשיעור y: k = (2 + 10) ÷ 2 = 6.
-
בדיקה: שיפוע AB = 4/2 = 2 = שיפוע BC.
הצגת פתרון מלא
שאלה 11: מעוין
-
AB = √(9 + 16) = 5, BC = 5, CD = 5, DA = 5.
-
שיפוע AB 4/3 ושיפוע BC 0: הצלעות אינן מאונכות, ולכן זה לא ריבוע.
-
ארבע צלעות שוות בלי זווית ישרה: מעוין.
הצגת פתרון מלא
שאלה 12: (4, 3)
-
הזווית ב־A ישרה (הצלעות על הצירים).
-
במשולש ישר־זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר BC.
-
(8 + 0) ÷ 2 = 4, (0 + 6) ÷ 2 = 3.