נקודות, קטעים וישרים במישור | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | נקודות, קטעים וישרים במישור | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות בנקודות, קטעים וישרים במישור לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
מטרות הלמידה
- לחשב מרחק, אמצע ושיפוע ולכתוב משוואת ישר
- לזהות ישרים מקבילים ומאונכים ולמצוא אנך אמצעי
- לפתור בעיות במשולשים ובמרובעים בעזרת כלים אנליטיים
השיעור
מרחק ואמצע
המרחק בין (x₁, y₁) ל־(x₂, y₂) הוא √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). אמצע הקטע: ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2).
שיפוע ומשוואת ישר
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), באותו סדר במונה ובמכנה. ישר דרך נקודה: y − y₁ = m(x − x₁). ישר אנכי x = c אין לו שיפוע.
מקבילים ומאונכים
ישרים מקבילים לא אנכיים: שיפועים שווים. ישרים מאונכים: m₁ · m₂ = −1. אנך אמצעי לקטע עובר דרך אמצעו ומאונך לו, וכל נקודה עליו שווה מרחק מקצות הקטע.
צורות במערכת צירים
מקבילית: האלכסונים חוצים זה את זה. מלבן: מקבילית עם זווית ישרה. מעוין: ארבע צלעות שוות. במשולש ישר־זווית מרכז המעגל החוסם באמצע היתר.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | ישר דרך שתי נקודות
מצאו את משוואת הישר דרך (−2, 1) ו־(4, 4).
m = 3 ÷ 6 = 1/2.
y − 1 = (x + 2) ÷ 2, כלומר y = x/2 + 2.
תשובה: y = x/2 + 2
דוגמה 2 | ישר מאונך
מצאו ישר דרך (1, −1) המאונך ל־y = 4x − 2.
שיפוע מאונך −1/4.
y + 1 = −(x − 1) ÷ 4, כלומר y = −x/4 − 3/4.
תשובה: y = −x/4 − 3/4
דוגמה 3 | אנך אמצעי
מצאו את האנך האמצעי ל־A(−1, 2), B(3, 6).
אמצע (1, 4), שיפוע AB 1.
שיפוע האנך −1: y − 4 = −(x − 1).
y = −x + 5.
תשובה: y = −x + 5
דוגמה 4 | קודקוד רביעי
A(1, 0), B(4, 1), C(5, 4) קודקודים עוקבים של מקבילית ABCD. מצאו D.
אמצע AC: (3, 2).
D = (2 · 3 − 4, 2 · 2 − 1) = (2, 3).
תשובה: D(2, 3)