דף תרגול

גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | דף עבודה להדפסה | 16 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה בגאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון לכיתה י׳, 5 יחידות: 16 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

מטרות הלמידה

להשתמש בקטע אמצעים במשולש ובטרפז ובמשפט ההפוך
להשתמש בתיכונים: מפגש התיכונים והתיכון ליתר
להפעיל את משפט תאלס, את ההפוך שלו ואת ההרחבה
להפעיל את משפט חוצה הזווית ואת המשפט ההפוך
להוכיח דמיון משולשים ולחשב צלעות לפי יחס הדמיון

לפני שמתחילים

לפני כל חישוב, כתבו איזה משפט אתם מפעילים ובדקו שהתנאים שלו מתקיימים: מקבילות, אמצע, חוצה זווית או זוויות שוות. אחר כך כתבו את היחס בסדר הקודקודים הנכון.

תזכורת

קטע אמצעים במשולש: מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
ישר מאמצע צלע המקביל לצלע שנייה חוצה את השלישית.
קטע אמצעים בטרפז: ממוצע הבסיסים.
מפגש התיכונים: יחס 2:1 מהקודקוד.

שאלות

שאלה 1

במשולש ABC הנקודה D היא אמצע AB והנקודה E היא אמצע AC. נתון ⁦BC = 14⁩. מה אורך DE?

..........................................................

שאלה 2

במשולש ABC התיכונים AD ו־BE נפגשים בנקודה G. נתון ⁦AD = 12⁩. מה אורך AG?

..........................................................

שאלה 3

במשולש ABC זווית C ישרה, ואורכי הניצבים הם ⁦AC = 6⁩ ו־⁦BC = 8⁩. מה אורך התיכון מ־C ליתר AB?

..........................................................

שאלה 4

בטרפז קטע האמצעים שווה ל־11, ואחד הבסיסים שווה ל־15. מה אורך הבסיס השני?

..........................................................

שאלה 5

במרובע ABCD הנקודות K, L, M ו־N הן אמצעי הצלעות AB, BC, CD ו־DA. איזה מרובע הוא KLMN, ולמה?

(א) מקבילית, כי KL ו־NM מקבילים לאלכסון AC ושווים למחציתו

(ב) מלבן, כי הזוויות של ABCD שוות

(ג) מעוין, כי כל הצלעות של ABCD שוות

(ד) טרפז, כי רק זוג אחד של צלעות מקביל

..........................................................

שאלה 6

במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ונתון DE ∥ BC. עוד נתון ⁦AD = 3, DB = 6⁩ ו־⁦AE = 4⁩. מה אורך EC?

..........................................................

שאלה 7

במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ונתון DE ∥ BC. עוד נתון ⁦AD = 4, AB = 10⁩ ו־⁦BC = 15⁩. מה אורך DE?

..........................................................

שאלה 8

במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC. נתון ⁦AD = 5, DB = 10, AE = 4⁩ ו־⁦EC = 8⁩. האם DE ∥ BC?

(א) כן, כי ⁦AD > AE⁩

(ב) לא, כי AD ≠ AE

(ג) אי אפשר לדעת בלי זוויות

(ד) כן, כי AD:⁦DB = AE⁩:EC

..........................................................

שאלה 9

במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ונתון DE ∥ BC. עוד נתון ⁦AE = 8, EC = 4⁩ ו־⁦AD = 10⁩. מה אורך DB?

..........................................................

שאלה 10

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, והנקודה D על BC. נתון ⁦AB = 6, AC = 9⁩ ו־⁦BD = 4⁩. מה אורך DC?

..........................................................

שאלה 11

במשולש ABC נתון ⁦AB = 8, AC = 12⁩ ו־⁦BC = 10⁩. חוצה זווית A פוגש את BC בנקודה D. מה אורך BD?

..........................................................

שאלה 12

במשולש ABC נתון ⁦AB = 10, AC = 15⁩ ו־⁦BC = 20⁩. חוצה זווית A פוגש את BC בנקודה D. מה אורך DC?

..........................................................

שאלה 13

נתון △ABC ∼ △DEF, בסדר הקודקודים הזה. עוד נתון ⁦AB = 4, DE = 12⁩ ו־⁦BC = 5⁩. מה אורך EF?

..........................................................

שאלה 14

אורכי הצלעות במשולש אחד הם 3, 4 ו־6, ובמשולש שני 6, 8 ו־12. האם המשולשים דומים?

(א) כן, לפי ז.ז

(ב) לא, כי הצלעות שונות

(ג) כן, לפי צ.צ.צ, ביחס 1:2

(ד) לא, כי ההפרשים בין הצלעות שונים

..........................................................

שאלה 15

במשולש ABC נתון ⁦AB = 6, AC = 8⁩ ו־⁦BC = 10⁩. הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ונתון ⁦AD = 3⁩ ו־⁦AE = 4⁩. מה אורך DE?

..........................................................

שאלה 16

במשולש ABC זווית C ישרה, ו־CD הוא הגובה ליתר AB. נתון ⁦AD = 4⁩ ו־⁦AB = 9⁩. מה אורך AC?

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 7

DE מחבר אמצעי שתי צלעות, ולכן הוא קטע אמצעים במשולש.
קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
לכן ⁦⁦DE = 14⁩ : ⁦2 = 7⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: 8

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד.
לכן AG הוא שני שלישים מ־AD.
⁦⁦12 · 2⁩ : ⁦3 = 8⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 5

לפי משפט פיתגורס, ⁦AB = 10⁩, כי ⁦6² + 8² = 100⁩.
במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
לכן התיכון הוא ⁦10 : ⁦2 = 5⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: 7

קטע האמצעים שווה לממוצע הבסיסים, ולכן סכום הבסיסים הוא ⁦2 · 11 = 22⁩.
הבסיס השני: ⁦22 − 15 = 7⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: מקבילית, כי KL ו־NM מקבילים לאלכסון AC ושווים למחציתו

במשולש ABC הקטע KL הוא קטע אמצעים, ולכן KL ∥ AC ושווה למחצית AC.
במשולש ACD הקטע NM הוא קטע אמצעים, ולכן NM ∥ AC ושווה למחצית AC.
זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות, ולכן KLMN מקבילית.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 8

לפי משפט תאלס, ישר המקביל לצלע מחלק את שתי הצלעות האחרות באותו יחס: AD:⁦DB = AE⁩:EC.
3:⁦6 = 4⁩:EC, ולכן ⁦⁦EC = 4 · 6⁩ : ⁦3 = 8⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 6

לפי ההרחבה של משפט תאלס: AD:⁦AB = AE⁩:⁦AC = DE⁩:BC.
⁦⁦DE = 15 · 4⁩ : ⁦10 = 6⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: כן, כי AD:⁦DB = AE⁩:EC

לפי המשפט ההפוך של תאלס: אם ישר מחלק שתי צלעות באותו יחס, הוא מקביל לצלע השלישית.
היחס AD:DB הוא 5:10, כלומר 1:2.
היחס AE:EC הוא 4:8, גם 1:2. היחסים שווים, ולכן DE ∥ BC.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 5

לפי משפט תאלס: AD:⁦DB = AE⁩:EC.
10:⁦DB = 8⁩:4, ולכן ⁦⁦DB = 10 · 4⁩ : ⁦8 = 5⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 6

לפי משפט חוצה הזווית: BD:⁦DC = AB⁩:AC.
4:⁦DC = 6⁩:9, ולכן ⁦⁦DC = 4 · 9⁩ : ⁦6 = 6⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 11: 4

לפי משפט חוצה הזווית: BD:⁦DC = AB⁩:⁦AC = 8⁩:⁦12 = 2⁩:3.
BC מחולק ל־5 חלקים שווים, ו־BD לוקח 2 מהם.
⁦⁦BD = 10 · 8⁩ : ⁦20 = 4⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 12: 12

BD:⁦DC = AB⁩:⁦AC = 10⁩:⁦15 = 2⁩:3.
BC מתחלק ל־5 חלקים, ו־DC לוקח 3 מהם.
⁦⁦DC = 20 · 15⁩ : ⁦25 = 12⁩⁩. בדיקה: ⁦BD = 8⁩, ו־⁦8 + 12 = 20⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 13: 15

סדר הקודקודים קובע את ההתאמה: AB מתאימה ל־DE, ו־BC מתאימה ל־EF.
יחס הדמיון הוא 12:⁦4 = 3⁩.
⁦⁦EF = 5 · 12⁩ : ⁦4 = 15⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 14: כן, לפי צ.צ.צ, ביחס 1:2

משווים צלע קטנה לקטנה, בינונית לבינונית וגדולה לגדולה.
3:⁦6 = 4⁩:⁦8 = 6⁩:⁦12 = 1⁩:2.
שלוש הצלעות פרופורציוניות, ולכן המשולשים דומים לפי צ.צ.צ.

הצגת פתרון מלא

שאלה 15: 5

AD:⁦AB = 3⁩:6 ו־AE:⁦AC = 4⁩:8, שניהם 1:2, והזווית A משותפת.
לכן △ADE ∼ △ABC לפי צ.ז.צ, ביחס 1:2.
⁦⁦DE = 10 · 3⁩ : ⁦6 = 5⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 16: 6

למשולשים ACD ו־ABC זווית A משותפת, ולשניהם זווית ישרה, ולכן △ACD ∼ △ABC לפי ז.ז.
מההתאמה: AD:⁦AC = AC⁩:AB, כלומר ⁦AC² = AD · AB = 4 · 9 = 36⁩.
⁦AC = 6⁩.