טריגונומטריה במישור | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | טריגונומטריה במישור | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות בטריגונומטריה במישור לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
מטרות הלמידה
- להשתמש במשפט הסינוסים ובקשר a ÷ sin A = 2R
- להשתמש במשפט הקוסינוסים למציאת צלע או זווית
- לפתור בעיות מילוליות ולזהות את המקרה הדו־משמעי
השיעור
משפט הסינוסים
בכל משולש a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R, כאשר R רדיוס המעגל החוסם. מתאים כשידוע זוג של צלע והזווית שמולה.
משפט הקוסינוסים
c² = a² + b² − 2ab · cos C. מתאים כשידועות שתי צלעות והזווית ביניהן, או שלוש צלעות (ואז cos C = (a² + b² − c²) ÷ (2ab)).
המקרה הדו־משמעי
כשמוצאים זווית ממשפט הסינוסים, sin B חיובי גם לזווית חדה וגם לזווית 180° − B. בודקים אם הזווית הקהה אפשרית עם הזווית הנתונה.
שטח
שטח = ½ab · sin C. אם ידועות שלוש צלעות, מוצאים קודם cos של זווית אחת, ממנו sin, ואז את השטח.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | סינוסים
a = 9, ∠A = 40°, ∠B = 65°. מצאו את b.
b = 9 · sin 65° ÷ sin 40°.
≈ 9 · 0.9063 ÷ 0.6428 ≈ 12.69.
תשובה: ≈ 12.69
דוגמה 2 | קוסינוסים לצלע
a = 7, b = 10, ∠C = 50°. מצאו את c.
c² = 49 + 100 − 140 · cos 50° ≈ 149 − 89.99 = 59.01.
c ≈ 7.68.
תשובה: ≈ 7.68
דוגמה 3 | קוסינוסים לזווית
a = 5, b = 6, c = 8. מצאו את ∠C.
cos C = (25 + 36 − 64) ÷ 60 = −0.05.
C ≈ 92.9°: זווית קהה במעט.
תשובה: ≈ 92.9°
דוגמה 4 | רדיוס חוסם
במשולש b = 9 ו־∠B = 120°. מהו R?
2R = 9 ÷ sin 120° ≈ 9 ÷ 0.8660 ≈ 10.39.
R ≈ 5.20.
תשובה: ≈ 5.20