דף תרגול

גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תשפ״ז

תרגול אתגר בגאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון לכיתה י׳, 5 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

להשתמש בקטע אמצעים במשולש ובטרפז ובמשפט ההפוך
להשתמש בתיכונים: מפגש התיכונים והתיכון ליתר
להפעיל את משפט תאלס, את ההפוך שלו ואת ההרחבה
להפעיל את משפט חוצה הזווית ואת המשפט ההפוך
להוכיח דמיון משולשים ולחשב צלעות לפי יחס הדמיון

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

במשולש ABC נתון ⁦AD = 4, DB = 6, AE = 6⁩ ו־⁦EC = 9⁩, כאשר D על AB ו־E על AC. הוכיחו ש־DE ∥ BC.

AD:⁦DB = 4⁩:⁦6 = 2⁩:3.
AE:⁦EC = 6⁩:⁦9 = 2⁩:3.
היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך של תאלס DE ∥ BC.

תשובה: DE ∥ BC לפי ההפוך של תאלס

תרגול

במרובע ABCD הנקודות K, L, M ו־N הן אמצעי הצלעות AB, BC, CD ו־DA. איזה מרובע הוא KLMN, ולמה?
1. מלבן, כי הזוויות של ABCD שוות
2. מעוין, כי כל הצלעות של ABCD שוות
3. מקבילית, כי KL ו־NM מקבילים לאלכסון AC ושווים למחציתו
4. טרפז, כי רק זוג אחד של צלעות מקביל
במשולש ABC התיכון AD שווה ל־18, ו־G נקודת מפגש התיכונים. תלמיד כתב: AG:⁦GD = 1⁩:2 ולכן ⁦AG = 6⁩. מה הטעות ומה התשובה הנכונה?
1. היחס הוא 2:1 מהקודקוד, ולכן ⁦AG = 12⁩
2. היחס הוא 1:1, ולכן ⁦AG = 9⁩
3. היחס נכון, ולכן ⁦AG = 6⁩
4. היחס הוא 3:1, ולכן ⁦AG = 13.5⁩
במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ונתון DE ∥ BC. עוד נתון ⁦AE = 8, EC = 4⁩ ו־⁦AD = 10⁩. מה אורך DB?
במשולש ABC נתון DE ∥ BC, כאשר D על AB ו־E על AC. עוד נתון ⁦AD = 2, DB = 3⁩ ו־⁦BC = 10⁩. תלמיד כתב DE:⁦BC = AD⁩:DB. מה אורך DE באמת?
במשולש ABC נתון ⁦AB = 10, AC = 15⁩ ו־⁦BC = 20⁩. חוצה זווית A פוגש את BC בנקודה D. מה אורך DC?
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A. תלמיד כתב BD:⁦DC = AC⁩:AB. מה נכון?
1. היחס של התלמיד נכון
2. ⁦BD = DC⁩ תמיד
3. BD:⁦DC = BC⁩:AB
4. BD:⁦DC = AB⁩:AC: כל קטע ליד הצלע הסמוכה לו
במשולש ABC זווית C ישרה, ו־CD הוא הגובה ליתר AB. נתון ⁦AD = 4⁩ ו־⁦AB = 9⁩. מה אורך AC?
במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ונתון DE ∥ BC. איזה נימוק מוכיח ש־△ADE ∼ △ABC?
1. ⁦DE = BC⁩, ולכן צ.צ.צ
2. זווית A משותפת, וזוויות מתאימות בין מקבילים שוות, ולכן ז.ז
3. ⁦AD = AB⁩, ולכן צ.ז.צ
4. שני המשולשים ישרי זווית

תשובות לתרגול

מקבילית, כי KL ו־NM מקבילים לאלכסון AC ושווים למחציתו
1. במשולש ABC הקטע KL הוא קטע אמצעים, ולכן KL ∥ AC ושווה למחצית AC.
2. במשולש ACD הקטע NM הוא קטע אמצעים, ולכן NM ∥ AC ושווה למחצית AC.
3. זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות, ולכן KLMN מקבילית.
היחס הוא 2:1 מהקודקוד, ולכן ⁦AG = 12⁩
1. נקודת מפגש התיכונים קרובה יותר לצלע מאשר לקודקוד.
2. היחס הוא AG:⁦GD = 2⁩:1, כלומר AG שני שלישים מהתיכון.
3. ⁦⁦18 · 2⁩ : ⁦3 = 12⁩⁩.
5
1. לפי משפט תאלס: AD:⁦DB = AE⁩:EC.
2. 10:⁦DB = 8⁩:4, ולכן ⁦⁦DB = 10 · 4⁩ : ⁦8 = 5⁩⁩.
4
1. ההרחבה של תאלס משווה את DE:BC ליחס AD:AB, כלומר לקטע מהקודקוד אל הצלע כולה.
2. ⁦AB = 2 + 3 = 5⁩, ולכן DE:⁦10 = 2⁩:5.
3. ⁦⁦DE = 10 · 2⁩ : ⁦5 = 4⁩⁩.
12
1. BD:⁦DC = AB⁩:⁦AC = 10⁩:⁦15 = 2⁩:3.
2. BC מתחלק ל־5 חלקים, ו־DC לוקח 3 מהם.
3. ⁦⁦DC = 20 · 15⁩ : ⁦25 = 12⁩⁩. בדיקה: ⁦BD = 8⁩, ו־⁦8 + 12 = 20⁩.
BD:⁦DC = AB⁩:AC: כל קטע ליד הצלע הסמוכה לו
1. הקטע BD נמצא ליד הקודקוד B, ולכן הוא מתאים לצלע AB.
2. הקטע DC נמצא ליד C, ולכן הוא מתאים לצלע AC.
3. היחס הנכון הוא BD:⁦DC = AB⁩:AC.
6
1. למשולשים ACD ו־ABC זווית A משותפת, ולשניהם זווית ישרה, ולכן △ACD ∼ △ABC לפי ז.ז.
2. מההתאמה: AD:⁦AC = AC⁩:AB, כלומר ⁦AC² = AD · AB = 4 · 9 = 36⁩.
3. ⁦AC = 6⁩.
זווית A משותפת, וזוויות מתאימות בין מקבילים שוות, ולכן ז.ז
1. הזווית A שייכת לשני המשולשים.
2. כיוון ש־DE ∥ BC, הזווית ADE שווה לזווית ABC כזוויות מתאימות.
3. שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז.