דף תרגול

גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תרגול רמה 2 | ביסוס | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תשפ״ז

תרגול ביסוס בגאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון לכיתה י׳, 5 יחידות: 10 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

להשתמש בקטע אמצעים במשולש ובטרפז ובמשפט ההפוך
להשתמש בתיכונים: מפגש התיכונים והתיכון ליתר
להפעיל את משפט תאלס, את ההפוך שלו ואת ההרחבה
להפעיל את משפט חוצה הזווית ואת המשפט ההפוך
להוכיח דמיון משולשים ולחשב צלעות לפי יחס הדמיון

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

במשולש ABC נתון DE ∥ BC, כאשר D על AB ו־E על AC. עוד נתון ⁦AD = 6, DB = 4, AE = 9⁩ ו־⁦BC = 15⁩. מצאו את EC ואת DE.

לפי משפט תאלס: 6:⁦4 = 9⁩:EC, ולכן ⁦EC = 6⁩.
לפי ההרחבה: DE:⁦BC = AD⁩:⁦AB = 6⁩:10.
⁦⁦DE = 15 · 6⁩ : ⁦10 = 9⁩⁩.

תשובה: ⁦EC = 6, DE = 9⁩

תרגול

במשולש ABC זווית C ישרה, ואורכי הניצבים הם ⁦AC = 6⁩ ו־⁦BC = 8⁩. מה אורך התיכון מ־C ליתר AB?
במשולש ABC הנקודה D היא אמצע AB. דרך D העבירו ישר המקביל ל־BC, והוא חותך את AC בנקודה E. מה אפשר להסיק?
1. E היא אמצע AC, ו־DE שווה למחצית BC
2. ⁦DE = BC⁩, כי הקטעים מקבילים
3. E היא אמצע AC, אבל אורך DE לא ידוע
4. אי אפשר להסיק דבר בלי אורכים
בטרפז קטע האמצעים שווה ל־11, ואחד הבסיסים שווה ל־15. מה אורך הבסיס השני?
במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC. נתון ⁦AD = 5, DB = 10, AE = 4⁩ ו־⁦EC = 8⁩. האם DE ∥ BC?
1. כן, כי ⁦AD > AE⁩
2. לא, כי AD ≠ AE
3. אי אפשר לדעת בלי זוויות
4. כן, כי AD:⁦DB = AE⁩:EC
שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על החותך הראשון נוצרו קטעים באורכים 4 ו־6. על החותך השני הקטע הראשון שווה ל־6. מה אורך הקטע השני על החותך השני?
במשולש ABC הנקודה D על BC, ונתון BD:⁦DC = AB⁩:AC. מה אפשר להסיק על הקטע AD?
1. AD תיכון לצלע BC
2. AD גובה לצלע BC
3. AD חוצה את זווית A
4. AD מקביל ל־AB
במשולש ABC נתון ⁦AB = AC⁩ ו־⁦BC = 12⁩. חוצה זווית A פוגש את BC בנקודה D. מה אורך BD?
נתון △ABC ∼ △PQR, בסדר הקודקודים הזה. איזו צלע מתאימה לצלע AC?
1. PQ
2. PR
3. QR
4. AC
אורכי הצלעות במשולש אחד הם 3, 4 ו־6, ובמשולש שני 6, 8 ו־12. האם המשולשים דומים?
1. כן, לפי ז.ז
2. לא, כי הצלעות שונות
3. כן, לפי צ.צ.צ, ביחס 1:2
4. לא, כי ההפרשים בין הצלעות שונים
במשולש ABC נתון ⁦AB = 6, AC = 8⁩ ו־⁦BC = 10⁩. הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ונתון ⁦AD = 3⁩ ו־⁦AE = 4⁩. מה אורך DE?

תשובות לתרגול

5
1. לפי משפט פיתגורס, ⁦AB = 10⁩, כי ⁦6² + 8² = 100⁩.
2. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
3. לכן התיכון הוא ⁦10 : ⁦2 = 5⁩⁩.
E היא אמצע AC, ו־DE שווה למחצית BC
1. ישר שיוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית.
2. לכן E היא אמצע AC, ו־DE הוא קטע אמצעים.
3. מכאן גם DE שווה למחצית BC.
7
1. קטע האמצעים שווה לממוצע הבסיסים, ולכן סכום הבסיסים הוא ⁦2 · 11 = 22⁩.
2. הבסיס השני: ⁦22 − 15 = 7⁩.
כן, כי AD:⁦DB = AE⁩:EC
1. לפי המשפט ההפוך של תאלס: אם ישר מחלק שתי צלעות באותו יחס, הוא מקביל לצלע השלישית.
2. היחס AD:DB הוא 5:10, כלומר 1:2.
3. היחס AE:EC הוא 4:8, גם 1:2. היחסים שווים, ולכן DE ∥ BC.
9
1. לפי משפט תאלס, ישרים מקבילים חותכים קטעים פרופורציוניים על שני החותכים.
2. 4:⁦6 = 6⁩:x, ולכן ⁦⁦x = 6 · 6⁩ : ⁦4 = 9⁩⁩.
AD חוצה את זווית A
1. זהו המשפט ההפוך של חוצה הזווית.
2. אם נקודה על צלע מחלקת אותה ביחס הצלעות הסמוכות, הקטע מהקודקוד אליה חוצה את הזווית.
6
1. לפי משפט חוצה הזווית: BD:⁦DC = AB⁩:⁦AC = 1⁩:1.
2. לכן D היא אמצע BC, ו־⁦⁦BD = 12⁩ : ⁦2 = 6⁩⁩.
PR
1. A מתאים ל־P, ו־C מתאים ל־R.
2. לכן הצלע AC מתאימה לצלע PR.
כן, לפי צ.צ.צ, ביחס 1:2
1. משווים צלע קטנה לקטנה, בינונית לבינונית וגדולה לגדולה.
2. 3:⁦6 = 4⁩:⁦8 = 6⁩:⁦12 = 1⁩:2.
3. שלוש הצלעות פרופורציוניות, ולכן המשולשים דומים לפי צ.צ.צ.
5
1. AD:⁦AB = 3⁩:6 ו־AE:⁦AC = 4⁩:8, שניהם 1:2, והזווית A משותפת.
2. לכן △ADE ∼ △ABC לפי צ.ז.צ, ביחס 1:2.
3. ⁦⁦DE = 10 · 3⁩ : ⁦6 = 5⁩⁩.