בוחן קצר

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | בוחן מסכם | 10 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

בוחן מסכם בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 5 יחידות: 10 שאלות, 100 נקודות, 25 דקות.

מטרות הלמידה

לבנות ולפתור מודל קיצון פולינומי בארבעה הקשרים
להשוות נקודות קריטיות וקצוות בתחום סגור
לפרש נגזרת כקצב שינוי עם יחידות נכונות

הנחיות

10 שאלות. 10 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 25 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

מהו הערך הגדול ביותר של ⁦x²(12 − x)⁩ עבור ⁦0 ≤ x ≤ 12⁩?
גובה של גוף הוא ⁦h(t) = −4t² + 16t + 3⁩ מטרים. מהו הגובה המרבי?
סכום שני מספרים הוא 40. מהי המכפלה הגדולה ביותר?
ההכנסה היא ⁦R(x) = 60x − x²⁩ שקלים והעלות 20x שקלים. מהו הרווח הגדול ביותר?
מהירות של גוף היא ⁦v(t) = −t² + 8t⁩ מטרים לשנייה, ⁦0 ≤ t ≤ 8⁩. מהי המהירות הגדולה ביותר?
מיריעה ריבועית שצלעה 6 ס״מ; חותכים בפינות ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה. ⁦V(x) = x(6 − 2x)²⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
מיקום של גוף הוא ⁦s(t) = t³ − 3t² + 5⁩ מטרים, ⁦0 ≤ t ≤ 3⁩. מהו הערך הגדול ביותר של s בפרק הזמן הזה?
מה השלב הראשון בפתרון בעיית קיצון בהקשר מילולי?
1. לגזור מיד את הביטוי הראשון שרואים
2. להציב ⁦x = 0⁩
3. לכתוב את התשובה הסופית
4. להגדיר את המשתנה ואת התחום החוקי מתוך ההקשר
הרווח הוא ⁦P(x) = −x³ + 9x² − 15x + 10⁩ שקלים. מהו הרווח הגדול ביותר?
גובה של כדור הוא ⁦h(t) = −5t² + 30t⁩ מטרים, ⁦0 ≤ t ≤ 6⁩. מהו הגובה המרבי?

תשובות לתרגול

256
1. ⁦f′(x) = 24x − 3x² = 3x(8 − x)⁩ נותן ⁦x = 8⁩.
2. ⁦f(8) = 64 · 4 = 256⁩.
19
1. ⁦h′(t) = −8t + 16 = 0⁩ נותן ⁦t = 2⁩.
2. ⁦h(2) = −16 + 32 + 3 = 19⁩ מטרים.
400
1. ⁦P(x) = 40x − x²⁩, ו־⁦P′(x) = 40 − 2x = 0⁩ נותן ⁦x = 20⁩.
2. ⁦P(20) = 400⁩.
400
1. ⁦P(x) = 40x − x²⁩, ו־⁦P′(x) = 40 − 2x = 0⁩ נותן ⁦x = 20⁩.
2. ⁦P(20) = 800 − 400 = 400⁩ שקלים.
16
1. ⁦v′(t) = −2t + 8 = 0⁩ נותן ⁦t = 4⁩.
2. ⁦v(4) = −16 + 32 = 16⁩ מטרים לשנייה.
16
1. ⁦V′(x) = 12(x − 1)(x − 3)⁩, ובתחום ⁦0 < x < 3⁩ רק ⁦x = 1⁩.
2. ⁦V(1) = 1 · 4² = 16⁩ סמ״ק.
5
1. ⁦s′(t) = 3t² − 6t = 3t(t − 2)⁩ נותן ⁦t = 0⁩ ו־⁦t = 2⁩.
2. ⁦s(0) = 5, s(2) = 8 − 12 + 5 = 1, s(3) = 27 − 27 + 5 = 5⁩.
3. המקסימום הוא 5, בשני הקצוות; בדיקת קצוות הייתה חיונית.
להגדיר את המשתנה ואת התחום החוקי מתוך ההקשר
1. בלי משתנה מוגדר ותחום חוקי אי אפשר לבנות פונקציה נכונה.
2. רק אחר כך בונים את הפונקציה, גוזרים ומשווים.
35
1. ⁦P′(x) = −3x² + 18x − 15 = −3(x − 1)(x − 5)⁩.
2. בין הנקודות 1 ו־5, הנגזרת חיובית לפני 5 ושלילית אחריה, ולכן ⁦x = 5⁩ הוא מקסימום.
3. ⁦P(5) = −125 + 225 − 75 + 10 = 35⁩ שקלים.
45
1. ⁦h′(t) = −10t + 30 = 0⁩ נותן ⁦t = 3⁩.
2. ⁦h(3) = −45 + 90 = 45⁩ מטרים.