משיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | משיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר | תשפ״ז
שיעור במשיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר לכיתה י׳, 5 יחידות: ההסבר, ואחריו 4 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
מטרות הלמידה
- להשתמש במשפט המשיק ובמשפט ההפוך
- לחשב בעזרת משיקים שווים
- להשתמש בזווית בין משיק למיתר על הקשת הנכונה
השיעור
משיק ורדיוס
משיק הוא ישר שיש לו נקודה משותפת אחת עם המעגל. משיק ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה. המשפט ההפוך: ישר הניצב לרדיוס בקצהו שעל המעגל הוא משיק.
שני משיקים מנקודה אחת
מנקודה P מחוץ למעגל יוצאים שני משיקים, PA ו־PB, והם שווים: PA = PB. הנימוק: OAP ו־OBP חופפים (יתר וניצב). במרובע OAPB שתי זוויות ישרות, ולכן ∠AOB + ∠APB = 180°.
זווית בין משיק למיתר
הזווית בין משיק למיתר היוצא מנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת שבתוך הזווית הזאת. היקפית מהצד השני של המיתר נשענת על הקשת הנכונה.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | אורך משיק
OP = 26 ורדיוס המעגל 10. מצאו את אורך המשיק PA.
OA ניצב ל־PA.
PA² = 676 − 100 = 576, PA = 24.
תשובה: 24
דוגמה 2 | שני משיקים
PA ו־PB משיקים, ∠APB = 70°. מצאו את ∠AOB ואת ∠PAB.
∠AOB = 360 − 90 − 90 − 70 = 110.
PA = PB, ולכן ∠PAB = (180 − 70) : 2 = 55.
תשובה: ∠AOB = 110°, ∠PAB = 55°
דוגמה 3 | משיק ומיתר
המשיק בנקודה A והמיתר AB יוצרים זווית של 38°. C על המעגל מהצד השני של AB. מצאו את ∠ACB ואת ∠AOB.
∠ACB נשענת על הקשת שבתוך הזווית, ולכן ∠ACB = 38.
∠AOB = 2 · 38 = 76.
תשובה: ∠ACB = 38°, ∠AOB = 76°
דוגמה 4 | המשפט ההפוך
A על מעגל שמרכזו O ורדיוסו 9. P מקיימת AP = 40 ו־OP = 41. האם AP משיק?
9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41², ולכן ∠OAP = 90 (ההפוך של פיתגורס).
AP ניצב לרדיוס בקצהו, ולכן הוא משיק.
תשובה: כן, AP משיק