דף תרגול

מצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל | דף עבודה להדפסה | 10 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | מצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה במצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל לכיתה י׳, 5 יחידות: 10 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

מטרות הלמידה

להבחין בין חסום במעגל לבין חוסם מעגל
להשתמש במשפטי המרובע החסום והחוסם ובמשפטים ההפוכים
לזהות את מרכזי המעגל החוסם והחסום במשולש

לפני שמתחילים

שאלו קודם: הקודקודים על המעגל (חסום במעגל) או הצלעות משיקות למעגל (חוסם מעגל)? חסום: זוויות נגדיות. חוסם: סכומי צלעות נגדיות.

תזכורת

משולש: מרכז = מפגש האנכים האמצעיים.
מרובע: ⁦∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°⁩, וההפוך.
משולש: מרכז = מפגש חוצי הזוויות; משיקים מקודקוד שווים.
מרובע קמור: ⁦AB + CD = BC + DA⁩, וההפוך.

שאלות

שאלה 1

המרובע ABCD חסום במעגל ו־⁦∠A = 70°⁩. מה גודל הזווית C (במעלות)?

..........................................................

שאלה 2

המרובע ABCD חוסם מעגל. נתון ⁦AB = 7, CD = 9⁩ ו־⁦BC = 6⁩. מה אורך AD?

..........................................................

שאלה 3

המרובע ABCD חסום במעגל ו־⁦∠B = 95°⁩. מה גודל הזווית D (במעלות)?

..........................................................

שאלה 4

המרובע ABCD חוסם מעגל ו־⁦AB + CD = 20⁩. מה היקף המרובע?

..........................................................

שאלה 5

המשולש ABC חוסם מעגל. נתון ⁦AB = 7, BC = 8, CA = 9⁩. מה אורך קטע המשיק מ־A עד נקודת ההשקה על AB?

..........................................................

שאלה 6

המרובע ABCD חסום במעגל ו־⁦∠C⁩ גדולה פי 2 מ־⁦∠A⁩. מה גודל הזווית A (במעלות)?

..........................................................

שאלה 7

המרובע ABCD חסום במעגל ו־⁦∠A = 110°. E⁩ על המשך הצלע BC מעבר ל־C. מה גודל הזווית DCE (במעלות)?

..........................................................

שאלה 8

המרובע הקמור ABCD חוסם מעגל. נתון ⁦AB = x, BC = 2x, CD = 12, DA = 9⁩. מה ערכו של x?

..........................................................

שאלה 9

המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו 5, ו־AB קוטר. נתון ⁦AC = 6⁩. מה אורך BC?

..........................................................

שאלה 10

המרובע ABCD חוסם מעגל. מהו הנימוק לכך ש־⁦AB + CD = BC + DA⁩?

(א) זוויות נגדיות משלימות ל־180°

(ב) משיקים מאותה נקודה שווים, וכל צלע היא סכום שני קטעי משיק

(ג) האלכסונים חוצים זה את זה

(ד) המרובע הוא מעוין

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 110

במרובע חסום במעגל סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180.
⁦∠C = 180 − 70 = 110⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: 10

במרובע חוסם מעגל סכומי זוגות הצלעות הנגדיות שווים: ⁦AB + CD = BC + AD⁩.
⁦7 + 9 = 6 + AD⁩, ולכן ⁦AD = 10⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 85

⁦∠B⁩ ו־⁦∠D⁩ זוויות נגדיות במרובע חסום.
⁦∠D = 180 − 95 = 85⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: 40

⁦AB + CD = BC + AD = 20⁩.
ההיקף הוא ⁦20 + 20 = 40⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 4

נסמן את קטעי המשיקים מהקודקודים x (מ־A), y (מ־B), z (מ־C). משיקים מאותה נקודה שווים.
⁦x + y = 7, y + z = 8, x + z = 9⁩.
⁦⁦x = (7 + 9 − 8)⁩ : ⁦2 = 4⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 60

⁦∠A + ∠C = 180⁩, כלומר ⁦x + 2x = 180⁩.
⁦x = 60⁩, ו־⁦∠C = 120⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 110

⁦∠BCD = 180 − 110 = 70⁩ (זוויות נגדיות במרובע חסום).
⁦∠DCE = 180 − 70 = 110⁩, כלומר שווה ל־⁦∠A⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: 3

⁦AB + CD = BC + DA⁩: ⁦x + 12 = 2x + 9⁩.
⁦x = 3⁩. בדיקה: ⁦3 + 12 = 6 + 9 = 15⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 8

⁦∠ACB = 90⁩ כי היא נשענת על הקוטר, ו־⁦AB = 10⁩.
⁦BC² = 100 − 36 = 64⁩, ולכן ⁦BC = 8⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: משיקים מאותה נקודה שווים, וכל צלע היא סכום שני קטעי משיק

מכל קודקוד יוצאים שני קטעי משיק שווים.
כל קטע מופיע פעם אחת ב־⁦AB + CD⁩ ופעם אחת ב־⁦BC + DA⁩, ולכן הסכומים שווים.