בוחן קצר

מצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל | בוחן מסכם | 10 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | מצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל | תשפ״ז

בוחן מסכם במצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל לכיתה י׳, 5 יחידות: 10 שאלות, 100 נקודות, 25 דקות.

מטרות הלמידה

להבחין בין חסום במעגל לבין חוסם מעגל
להשתמש במשפטי המרובע החסום והחוסם ובמשפטים ההפוכים
לזהות את מרכזי המעגל החוסם והחסום במשולש

הנחיות

10 שאלות. 10 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 25 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

המרובע ABCD חסום במעגל ו־⁦∠B = 72°⁩. מה גודל הזווית D (במעלות)?
המרובע ABCD חוסם מעגל, ⁦AB = 5, CD = 8⁩ ו־⁦BC = 4⁩. מה אורך DA?
מה פירוש "מרובע חוסם מעגל"?
1. כל קודקודי המרובע על המעגל
2. אלכסון המרובע הוא קוטר
3. כל צלעות המרובע משיקות למעגל
4. המרובע בתוך המעגל
במרובע ABCD נתון ⁦∠A = 75°, ∠B = 110°, ∠C = 105°, ∠D = 70°⁩. האם אפשר לחסום אותו במעגל?
1. כן, כי ⁦∠A + ∠C = 180°⁩
2. לא, כי ⁦⁦∠B⁩ ≠ ⁦∠D⁩⁩
3. לא, כי ⁦⁦∠A + ∠B⁩ ≠ 180⁩°
4. אי אפשר לדעת
במרובע קמור הצלעות לפי הסדר 6, 7, 9, 8. האם הוא חוסם מעגל?
1. לא, כי ⁦⁦6 + 7⁩ ≠ ⁦9 + 8⁩⁩
2. לא, כי הצלעות שונות
3. רק אם הוא ריבוע
4. כן, כי ⁦6 + 9 = 7 + 8⁩
המשולש ABC חוסם מעגל, ⁦AB = 10, BC = 12, CA = 14⁩. מה אורך קטע המשיק מ־A?
המרובע ABCD חסום במעגל ו־⁦∠A⁩ גדולה פי 2 מ־⁦∠C⁩. מה גודל הזווית A (במעלות)?
היקף מרובע החוסם מעגל הוא 34. מה סכום שתי צלעות נגדיות בו?
המרובע ABCD חסום במעגל והזווית החיצונית ליד הקודקוד C היא 75°. מה גודל הזווית A (במעלות)?
איזה משפט מאפשר להסיק שמרובע ניתן לחסימה במעגל?
1. מרובע שבו סכומי צלעות נגדיות שווים אפשר לחסום במעגל
2. מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180° אפשר לחסום במעגל
3. כל מרובע קמור אפשר לחסום במעגל
4. מרובע שאלכסוניו שווים אפשר לחסום במעגל

תשובות לתרגול

108
1. זוויות נגדיות במרובע חסום משלימות ל־180.
2. ⁦180 − 72 = 108⁩.
9
1. ⁦AB + CD = BC + DA⁩.
2. ⁦13 = 4 + DA⁩, ולכן ⁦DA = 9⁩.
כל צלעות המרובע משיקות למעגל
1. מרובע חוסם מעגל: המעגל בתוכו וכל צלע משיקה לו.
2. מרובע חסום במעגל: הקודקודים על המעגל.
כן, כי ⁦∠A + ∠C = 180°⁩
1. ⁦75 + 105 = 180⁩.
2. לפי המשפט ההפוך, אפשר לחסום אותו במעגל.
כן, כי ⁦6 + 9 = 7 + 8⁩
1. סכומי הצלעות הנגדיות: ⁦6 + 9 = 15⁩ ו־⁦7 + 8 = 15⁩.
2. הם שווים, ולכן המרובע חוסם מעגל.
6
1. משיקים מאותה נקודה שווים: ⁦x + y = 10, y + z = 12, x + z = 14⁩.
2. ⁦⁦x = (10 + 14 − 12)⁩ : ⁦2 = 6⁩⁩.
120
1. ⁦∠A + ∠C = 180⁩, ולכן ⁦2x + x = 180⁩ ו־⁦x = 60⁩.
2. ⁦∠A = 120⁩.
17
1. סכומי זוגות הצלעות הנגדיות שווים, ושניהם יחד הם ההיקף.
2. ⁦34 : ⁦2 = 17⁩⁩.
75
1. ⁦∠BCD = 180 − 75 = 105⁩.
2. ⁦∠A = 180 − 105 = 75⁩.
מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180° אפשר לחסום במעגל
1. זה המשפט ההפוך למשפט על מרובע חסום.
2. סכומי צלעות נגדיות שייכים למרובע חוסם, לא חסום.