דף תרגול

מצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | מצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל | תשפ״ז

תרגול אתגר במצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל לכיתה י׳, 5 יחידות: 7 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

להבחין בין חסום במעגל לבין חוסם מעגל
להשתמש במשפטי המרובע החסום והחוסם ובמשפטים ההפוכים
לזהות את מרכזי המעגל החוסם והחסום במשולש

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

משולש חוסם מעגל, ⁦AB = 9, BC = 11, CA = 8⁩. מצאו את קטעי המשיק מכל קודקוד.

⁦x + y = 9, y + z = 11, x + z = 8⁩, והסכום ⁦x + y + z = 14⁩.
⁦x = 14 − 11 = 3, y = 14 − 8 = 6, z = 14 − 9 = 5⁩.

תשובה: 3, 6, 5

תרגול

המרובע ABCD חסום במעגל ו־⁦∠C⁩ גדולה פי 2 מ־⁦∠A⁩. מה גודל הזווית A (במעלות)?
המרובע ABCD חסום במעגל ו־⁦∠A = 110°. E⁩ על המשך הצלע BC מעבר ל־C. מה גודל הזווית DCE (במעלות)?
המרובע הקמור ABCD חוסם מעגל. נתון ⁦AB = x, BC = 2x, CD = 12, DA = 9⁩. מה ערכו של x?
המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו 5, ו־AB קוטר. נתון ⁦AC = 6⁩. מה אורך BC?
המרובע ABCD חסום במעגל. מהו הנימוק לכך ש־⁦∠A + ∠C = 180°⁩?
1. ⁦∠A⁩ ו־⁦∠C⁩ זוויות מתחלפות
2. המרובע הוא מקבילית
3. ⁦∠A⁩ ו־⁦∠C⁩ זוויות היקפיות על שתי קשתות שיחד הן כל המעגל, ולכן סכומן מחצית 360°
4. סכום הזוויות במרובע 360°, ולכן כל זוג 180°
המרובע ABCD חוסם מעגל. מהו הנימוק לכך ש־⁦AB + CD = BC + DA⁩?
1. משיקים מאותה נקודה שווים, וכל צלע היא סכום שני קטעי משיק
2. זוויות נגדיות משלימות ל־180°
3. האלכסונים חוצים זה את זה
4. המרובע הוא מעוין
תלמיד כתב: "המרובע ABCD חסום במעגל, ולכן ⁦AB + CD = BC + DA⁩". מה הטעות?
1. אין טעות
2. בלבל בין חסום לחוסם: במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180°, ושוויון סכומי הצלעות שייך למרובע חוסם מעגל
3. הטענה נכונה רק במלבן
4. צריך ⁦AB + BC = CD + DA⁩

תשובות לתרגול

60
1. ⁦∠A + ∠C = 180⁩, כלומר ⁦x + 2x = 180⁩.
2. ⁦x = 60⁩, ו־⁦∠C = 120⁩.
110
1. ⁦∠BCD = 180 − 110 = 70⁩ (זוויות נגדיות במרובע חסום).
2. ⁦∠DCE = 180 − 70 = 110⁩, כלומר שווה ל־⁦∠A⁩.
3
1. ⁦AB + CD = BC + DA⁩: ⁦x + 12 = 2x + 9⁩.
2. ⁦x = 3⁩. בדיקה: ⁦3 + 12 = 6 + 9 = 15⁩.
8
1. ⁦∠ACB = 90⁩ כי היא נשענת על הקוטר, ו־⁦AB = 10⁩.
2. ⁦BC² = 100 − 36 = 64⁩, ולכן ⁦BC = 8⁩.
⁦∠A⁩ ו־⁦∠C⁩ זוויות היקפיות על שתי קשתות שיחד הן כל המעגל, ולכן סכומן מחצית 360°
1. ⁦∠A⁩ נשענת על הקשת BCD ו־⁦∠C⁩ על הקשת BAD, ושתי הקשתות יחד הן כל המעגל.
2. סכום הזוויות המרכזיות המתאימות הוא 360, וכל היקפית היא מחצית, ולכן ⁦∠A + ∠C = 180⁩.
משיקים מאותה נקודה שווים, וכל צלע היא סכום שני קטעי משיק
1. מכל קודקוד יוצאים שני קטעי משיק שווים.
2. כל קטע מופיע פעם אחת ב־⁦AB + CD⁩ ופעם אחת ב־⁦BC + DA⁩, ולכן הסכומים שווים.
בלבל בין חסום לחוסם: במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180°, ושוויון סכומי הצלעות שייך למרובע חוסם מעגל
1. מרובע חסום במעגל: קודקודיו על המעגל, והתכונה היא על זוויות נגדיות.
2. שוויון סכומי הצלעות הנגדיות נכון במרובע החוסם מעגל (צלעותיו משיקות).