מצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | מצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל | תשפ״ז
שיעור במצולעים חסומים במעגל וחוסמים מעגל לכיתה י׳, 5 יחידות: ההסבר, ואחריו 4 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
מטרות הלמידה
- להבחין בין חסום במעגל לבין חוסם מעגל
- להשתמש במשפטי המרובע החסום והחוסם ובמשפטים ההפוכים
- לזהות את מרכזי המעגל החוסם והחסום במשולש
השיעור
חסום או חוסם
משולש חסום במעגל: קודקודיו על המעגל, והמעגל חוסם אותו. משולש חוסם מעגל: צלעותיו משיקות למעגל, והמעגל חסום בו. אותה הבחנה במרובעים.
משולשים
כל משולש אפשר לחסום במעגל: מרכז המעגל החוסם הוא נקודת המפגש של האנכים האמצעיים. בכל משולש אפשר לחסום מעגל: מרכזו נקודת המפגש של חוצי הזוויות. במשולש חוסם מעגל, קטעי המשיקים מכל קודקוד שווים.
מרובע חסום
במרובע חסום במעגל סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180°. המשפט ההפוך: מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180° אפשר לחסום במעגל.
מרובע חוסם
במרובע החוסם מעגל סכומי זוגות הצלעות הנגדיות שווים: AB + CD = BC + DA (מתוך משיקים שווים). המשפט ההפוך: מרובע קמור שבו סכומי הצלעות הנגדיות שווים חוסם מעגל.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | מרובע חסום
ABCD חסום במעגל, ∠A = 3x ו־∠C = 2x. מצאו את x.
∠A + ∠C = 180: 5x = 180.
x = 36, ולכן ∠A = 108° ו־∠C = 72°.
תשובה: x = 36
דוגמה 2 | מרובע חוסם
ABCD חוסם מעגל, AB = 8, BC = 11, CD = 13. מצאו את DA ואת ההיקף.
AB + CD = BC + DA: 21 = 11 + DA, DA = 10.
היקף = 2 · 21 = 42.
תשובה: DA = 10, היקף 42
דוגמה 3 | קטעי משיק במשולש
משולש חוסם מעגל, AB = 9, BC = 11, CA = 8. מצאו את קטעי המשיק מכל קודקוד.
x + y = 9, y + z = 11, x + z = 8, והסכום x + y + z = 14.
x = 14 − 11 = 3, y = 14 − 8 = 6, z = 14 − 9 = 5.
תשובה: 3, 6, 5
דוגמה 4 | חסום או לא
במרובע ABCD נתון ∠A = 92°, ∠B = 70°, ∠C = 88°, ∠D = 110°. האם אפשר לחסום אותו במעגל?
בדיקה: 92 + 70 + 88 + 110 = 360.
∠A + ∠C = 180, ולכן לפי המשפט ההפוך אפשר לחסום אותו במעגל.
תשובה: כן