בוחן קצר

מעגל: קשתות, מיתרים וזוויות | בוחן מסכם | 8 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | מעגל: קשתות, מיתרים וזוויות | תשפ״ז

בוחן מסכם במעגל: קשתות, מיתרים וזוויות לכיתה י׳, 5 יחידות: 8 שאלות, 100 נקודות, 25 דקות.

מטרות הלמידה

להשתמש במונחי המעגל בדיוק
לקשר בין זוויות מרכזיות, קשתות ומיתרים
לחשב זוויות היקפיות ומרכזיות ולנמק

הנחיות

8 שאלות. שאלות 1 עד 4: 12 נקודות לכל שאלה. שאלות 5 עד 8: 13 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 25 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

במעגל שמרכזו O נתון ⁦∠AOB = 120°⁩, ו־C על הקשת הגדולה AB. מה גודל הזווית ACB (במעלות)?
AB קוטר, C על המעגל ו־⁦∠CAB = 40°⁩. מה גודל הזווית ABC (במעלות)?
במעגל שמרכזו O, OM ניצב למיתר AB, ו־⁦AB = 18⁩. מה אורך AM?
זווית היקפית בגודל 54° נשענת על הקשת AB. מה גודל הזווית המרכזית AOB (במעלות)?
רדיוס המעגל 5 ואורך המיתר 8. מה המרחק מהמרכז למיתר?
במעגל שמרכזו O נתון ⁦AB = CD⁩. מה ניתן להסיק על הזוויות המרכזיות AOB ו־COD?
1. AOB גדולה פי 2
2. הן משלימות ל־180°
3. הן שוות
4. אי אפשר לדעת
במעגל שמרכזו O נתון ⁦∠OAB = 25°⁩, ו־C על הקשת הגדולה AB. מה גודל הזווית ACB (במעלות)?
C ו־D על המעגל באותו צד של AB, ו־⁦∠ACB = 30°⁩. תלמידה כתבה ש־⁦∠ADB = 60°⁩. מה נכון?
1. ⁦∠ADB = 30°⁩ כי זוויות היקפיות על אותה קשת שוות
2. ⁦∠ADB = 60°⁩ כי היא כפולה
3. ⁦∠ADB = 150°⁩ כי הן משלימות
4. ⁦∠ADB = 90°⁩ כי AB קוטר

תשובות לתרגול

60
1. זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית על אותה קשת.
2. ⁦120 : ⁦2 = 60⁩⁩.
50
1. ⁦∠ACB = 90⁩ כי היא נשענת על קוטר.
2. ⁦∠ABC = 180 − 90 − 40 = 50⁩.
9
1. האנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר.
2. ⁦⁦AM = 18⁩ : ⁦2 = 9⁩⁩.
108
1. הזווית המרכזית גדולה פי 2.
2. ⁦2 · 54 = 108⁩.
3
1. חצי מיתר הוא 4.
2. ⁦5² − 4² = 9⁩, ולכן המרחק הוא 3.
הן שוות
1. המשולשים AOB ו־COD חופפים לפי צלע־צלע־צלע (שני רדיוסים ומיתר שווה).
2. לכן לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים, ולהפך.
65
1. ⁦OA = OB⁩ ולכן ⁦∠OBA = 25⁩ ו־⁦∠AOB = 180 − 50 = 130⁩.
2. ⁦⁦∠ACB = 130⁩ : ⁦2 = 65⁩⁩.
⁦∠ADB = 30°⁩ כי זוויות היקפיות על אותה קשת שוות
1. שתי הזוויות היקפיות ונשענות על אותה קשת AB.
2. לכן הן שוות: 30. הכפלה פי 2 נכונה רק בין היקפית למרכזית.