חשבון דיפרנציאלי | טעויות נפוצות | לעצור ולתקן | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי | תשפ״ז
טעויות נפוצות | לעצור ולתקן בחשבון דיפרנציאלי לכיתה י׳, 5 יחידות: משמעות הנגזרת, פולינומים, מכפלה והרכבה, משיק, חקירה וקיצון, עם פתרונות מלאים.
מטרות הלמידה
- להבחין בין שינוי ממוצע לנגזרת בנקודה
- לגזור פולינום, מכפלה והרכבה
- למצוא משיק מנקודה ושיפוע
- לחקור תחומי שינוי וקיצון בעזרת סימני הנגזרת
- לבנות ולפתור קיצון פולינומי בגאומטריה במישור עם תחום ויחידות
למצוא את נקודת הבלבול
טעות נפוצה
ב־f(x)=x² ב־x=3 שיפוע המשיק הוא 9.
הדרך הנכונה
9 הוא הגובה; השיפוע הוא f′(3)=6.
שיפוע וגובה עונים על שתי שאלות שונות, גם אם שניהם מחושבים באותו x.
טעות נפוצה
נגזרת (x²+1)(x−2) היא 2x.
הדרך הנכונה
משתמשים בסכום u′v+uv′, כאן 3x²−4x+1.
מכפלת נגזרות מתעלמת מהשינוי בשני הגורמים ומהערך של הגורם האחר.
טעות נפוצה
נגזרת (2x−1)³ היא 3(2x−1)².
הדרך הנכונה
צריך להכפיל ב־2, נגזרת הפנימית. התוצאה 6(2x−1)².
השינוי בחיצונית תלוי גם בקצב שבו הפנימית משתנה.
טעות נפוצה
f′(a)=0 מוכיח קיצון.
הדרך הנכונה
בפולינום בודקים שינוי סימן. ב־x³ אין קיצון ב־0 למרות נגזרת אפס.
הנגזרת 3x² חיובית משני הצדדים. משיק אופקי אינו בהכרח נקודת קיצון.
טעות נפוצה
בקטע [0,3] של f=x²−2x המקסימום נמצא רק בין שורשי הנגזרת.
הדרך הנכונה
בודקים גם קצוות: המקסימום 3 ב־x=3.
לקצה של תחום מוגבל אין חובה לקיים נגזרת אפס כדי לתת ערך מוחלט מרבי.
טעות נפוצה
מצאתי x=5 ולכן השטח המרבי הוא 5.
הדרך הנכונה
מחזירים לפונקציית השטח; במלבן בעל היקף 20 השטח 25 סמ״ר.
המשתנה הוא אורך צלע, לא השטח. תשובה חייבת להתאים לגודל שנשאל וליחידותיו.
ניתוח טעות | מועמד מחוץ לתחום
למלבן על y=9−x² ברביע הראשון תלמיד הציע x=−√3 כי הנגזרת מתאפסת. הסבירו ותקנו.
המשתנה x הוא רוחב ברביע הראשון ולכן 0<x<3. הערך השלילי אינו רוחב מותר, גם אם הוא שורש של A′=9−3x².
שורש הנגזרת היחיד בתחום הוא √3. הגובה 6 והשטח 6√3 יחידות שטח; הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ומוכיחה מקסימום.
תשובה: x=√3; רוחב שלילי נפסל לפי התחום.