תרגילים פתורים

חשבון דיפרנציאלי | שיעור | משינוי למשיק ולחקירה | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי | תשפ״ז

שיעור | משינוי למשיק ולחקירה בחשבון דיפרנציאלי לכיתה י׳, 5 יחידות: משמעות הנגזרת, פולינומים, מכפלה והרכבה, משיק, חקירה וקיצון, עם פתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

להבחין בין שינוי ממוצע לנגזרת בנקודה
לגזור פולינום, מכפלה והרכבה
למצוא משיק מנקודה ושיפוע
לחקור תחומי שינוי וקיצון בעזרת סימני הנגזרת
לבנות ולפתור קיצון פולינומי בגאומטריה במישור עם תחום ויחידות

מה הנגזרת אומרת?

כשמסתכלים על גרף אפשר לשאול שתי שאלות שונות: באיזה גובה הוא נמצא, ובאיזה קצב הוא משתנה. f(a) נותן גובה; f′(a) נותן שיפוע וקצב שינוי בנקודה. גרף יכול להיות מתחת לציר x ובכל זאת לעלות. במשפחה זו לומדים את חשבון הפולינומים של כיתה י׳, 5 יחידות בתשפ״ז. רמות התרגול הן רמות הוראתיות, לא דרגות קושי מכוילות ולא שיוך לשאלון בגרות.

משיפוע המיתר לשיפוע המשיק

הגדרה | קצב שינוי ממוצע

בין שני ערכי x שונים מחשבים שינוי בערך הפונקציה חלקי שינוי ב־x. זהו שיפוע הישר המחבר את שתי הנקודות, הנקרא מיתר. למשל ב־f(x)=x² בין 1 ל־3 השיפוע הוא (9−1)/(3−1)=4. הוא מתאר קטע ולא נקודה.

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\quad (b\ne a)$

שינוי ממוצע: חשוב לשמור אותו סדר בשני ההפרשים.

הגדרה | נגזרת בנקודה

מקרבים את הנקודה השנייה לראשונה ובודקים לאיזה מספר מתקרבים שיפועי המיתרים. אם יש גבול סופי, הוא הנגזרת בנקודה ושיפוע המשיק. תחילה h אינו אפס; רק לאחר פישוט בוחנים את הגבול. בפולינומים הנגזרת קיימת בכל הממשיים.

$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

לא מציבים h=0 במנה המקורית: אין חלוקה באפס.

למשל עבור f(x)=x², המנה היא (2ah+h²)/h=2a+h עבור h≠0. בגבול מתקבל 2a, ולכן f′(x)=2x. ב־x=3 הגובה 9 והשיפוע 6. אם x ביחידות אורך ו־f ביחידות שטח, יחידות הנגזרת הן שטח לכל אורך. קצב רגעי אינו אותו דבר כמו קצב ממוצע.

כללי גזירה: לראות את המבנה

$(cx^n)'=cnx^{n-1}\quad(n\ge1),\qquad (c)'=0$

כאן n מספר שלם חיובי ו־c קבוע. נגזרת סכום היא סכום הנגזרות.

ב־3x⁴−2x²+5 גוזרים איבר־איבר ומקבלים 12x³−4x. אין משאירים את הקבוע. לעיתים קל יותר לפתוח מכפלה קצרה ואז לגזור; לעיתים עדיף לשמור גורמים כדי לפתור את משוואת הנגזרת. בשני המקרים חייבים לקבל ביטויים שקולים.

$(uv)'=u'v+uv'$

כלל המכפלה: שני איברים, לא מכפלת נגזרות.

בכל איבר גוזרים גורם אחד ומשאירים את האחר. עבור (x²+1)(x−2) מתקבל 2x(x−2)+(x²+1)=3x²−4x+1. אפשר לפתוח את הפונקציה מראש כבדיקה בלתי תלויה.

$(g(x)^n)'=n\,g(x)^{n-1}g'(x)$

הרכבת חזקה ופולינום: נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית.

ב־(2x−1)³ הגזירה החיצונית נותנת 3(2x−1)², ומכפילים בנגזרת הפנימית 2. מתקבל 6(2x−1)². ב־(x²+1)² הגורם הפנימי הוא 2x. מזהים קודם את המבנה ולא מנסים לזכור תשובה לפי צורת המספרים.

משיק: שתי הצבות שונות

$y-f(a)=f'(a)(x-a)$

נקודת ההשקה היא (a,f(a)); השיפוע הוא f′(a).

מחשבים בנפרד את הגובה ואת השיפוע. עבור f(x)=x²+1 ב־x=2 הנקודה (2,5) והשיפוע 4, ולכן y−5=4(x−2). משיק אופקי דורש f′(a)=0; המשוואה שלו היא y=f(a), לא x=a. למשיק מקביל לישר נתון משווים את הנגזרת לשיפוע הישר. אם נתונה נקודה שאינה נקודת ההשקה, מסמנים שיעור השקה לא ידוע ובודקים אילו משיקים עוברים בה.

חקירה: סדר עבודה ונימוק

פולינום מוגדר בכל הממשיים, אלא אם השאלה מגבילה אותו לקטע או למודל גאומטרי. מוצאים חיתוך y באמצעות x=0 וחיתוכי x באמצעות f(x)=0. מחפשים סימטריה כאשר היא עוזרת. לאחר מכן גוזרים ופותרים f′(x)=0, מסדרים את הפתרונות ומכינים טבלת סימנים. בוחרים נקודת בדיקה בכל תחום ולא מסתפקים בפתרון משוואה.

סימן הנגזרת	מה קורה לפונקציה	מסקנה במעבר
חיובי בתחום	עולה בתחום	מחיובי לשלילי: מקסימום מקומי
שלילי בתחום	יורדת בתחום	משלילי לחיובי: מינימום מקומי
אפס בנקודה בלבד	משיק אופקי	בלי החלפת סימן אין בהכרח קיצון

ב־f(x)=x³ הנגזרת 3x² אפס בראשית וחיובית משני הצדדים. לכן אין קיצון בראשית. אחרי סיווג קיצון מציבים ב־f כדי לקבל את שיעור y. בקטע סגור משווים גם ערכי קצה כדי למצוא קיצון מוחלט. מקסימום מקומי אינו חייב להיות הגבוה ביותר בכל התחום. אין צורך לייבא נגזרת שנייה או דיון בנקודות פיתול כדי לבצע את החקירות כאן.

להפריד בין גרף f לבין גרף f′

חלון גרפי של הפונקציה והנגזרת: קו רציף הוא f, קו מקווקו הוא f′. שתי הפונקציות מוגדרות בכל הממשיים.━ f(x)=x³−3x | - - f′(x)=3x²−3

בגרף הרציף f(x)=x³−3x רואים מקסימום ב־x=−1 ומינימום ב־x=1. בגרף המקווקו של הנגזרת אלה בדיוק האפסים שבהם הסימן מתחלף. בין −1 ל־1 הנגזרת מתחת לציר x ולכן f יורדת. משני צדי הקטע הנגזרת מעל הציר ולכן f עולה. אין לקרוא את הגובה של f מתוך הגובה של f′: ב־x=0 מתקבל f=0 אבל f′=−3. בהזזה אנכית של f הנגזרת אינה משתנה.

קיצון פולינומי: מן הצורה אל הפונקציה

מתרגמים נתונים למשתנה יחיד: למשל במלבן בעל היקף קבוע מבטאים את הצלע השנייה דרך הראשונה. קובעים תחום לפני גזירה; אורך צלע חייב להיות חיובי. בונים את גודל המטרה, גוזרים ומוצאים מועמדים בתחום בלבד. בודקים שינוי סימן וקצוות רלוונטיים, חוזרים למידות ומציינים יחידות. תשובה כמו x=5 לבדה אינה תשובת שטח.

המשתנה והתחום מוגדרים מתוך הנתונים.
פונקציית המטרה מתארת את מה שרוצים למקסם או למזער.
שורשי הנגזרת נבדקים בתוך התחום בלבד.
סימן נגזרת או השוואת ערכים מספקים נימוק, לא רק נגזרת אפס.
בקטע סגור בודקים קצוות; במודל פתוח בודקים התנהגות לקראת גבולות.
מציגים מידות ויחידות. התרגול כאן לכיתה י׳ בגאומטריה במישור, ללא הקשרים מוחרגים של שאלון כיתה י״א.