סטטיסטיקה: ייצוגים, מדדי מרכז ופיזור | שיעור בשישה שלבים וחמש דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | סטטיסטיקה: ייצוגים, מדדי מרכז ופיזור | תשפ״ז
שיעור בסטטיסטיקה: ייצוגים, מדדי מרכז ופיזור לכיתה י׳, 4 יחידות: ההסבר, ואחריו 5 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
מטרות הלמידה
- להבחין בין משתנה איכותי למשתנה כמותי ולבחור ייצוג מתאים
- לקרוא דיאגרמת עמודות, דיאגרמת עוגה וטבלת שכיחויות, ולעבור ביניהן
- לחשב ממוצע, חציון ושכיח, ולבחור את המדד המתאים
- לחשב טווח ולהשוות פיזור בין קבוצות
- להבין מה סטיית התקן מודדת ואיך שינוי בנתונים משפיע עליה
השיעור
שלב 1 | משתנים
משתנה הוא תכונה שבודקים אצל כל משתתף. משתנה איכותי מקבל ערכים שהם מילים או קטגוריות, למשל צבע או עונה. משתנה כמותי מקבל ערכים מספריים שסופרים או מודדים, למשל מספר אחים או גובה. סוג המשתנה קובע מה אפשר לחשב.
שלב 2 | ייצוגים ומעבר ביניהם
אותם נתונים אפשר להציג ברשימה, בטבלת שכיחויות, בדיאגרמת עמודות או בדיאגרמת עוגה. שכיחות היא מספר הפעמים שערך מופיע. שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי מספר כל המשתתפים, ואפשר לכתוב אותה באחוזים. בדיאגרמת עוגה מגזר של a° מייצג את החלק a : 360 מכל המשתתפים.
שלב 3 | ממוצע
ממוצע: מחברים את כל הערכים ומחלקים במספר הערכים. אם יודעים את הממוצע ואת מספר הערכים, יודעים גם את הסכום: סכום = ממוצע · מספר הערכים. כך מוצאים ערך חסר או ממוצע חדש אחרי שהוסיפו או הוציאו ערך.
שלב 4 | חציון ושכיח
חציון: מסדרים את הערכים מהקטן לגדול ולוקחים את האמצעי. אם מספר הערכים זוגי, החציון הוא הממוצע של שני האמצעיים. שכיח: הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. ערך קיצוני משפיע מאוד על הממוצע ומעט על החציון. למשתנה איכותי יש רק שכיח.
שלב 5 | טווח
מדד מרכז לבד לא מספר הכול: לשתי קבוצות יכול להיות אותו ממוצע ופיזור שונה מאוד. הטווח הוא מדד פיזור פשוט: הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר. טווח 0 פירושו שכל הערכים שווים.
שלב 6 | סטיית תקן
סטיית התקן היא מדד פיזור שמתחשב בכל הערכים: היא מודדת עד כמה הערכים רחוקים, בדרך כלל, מהממוצע. היא תמיד 0 או מספר חיובי, והיא 0 רק כשכל הערכים שווים. כשמוסיפים אותו מספר לכל הערכים, הממוצע זז והמרחקים ממנו לא משתנים, ולכן סטיית התקן לא משתנה.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | מעוגה לשכיחות
בדיאגרמת עוגה של 40 תלמידים, המגזר של "אופניים" הוא 54°. כמה תלמידים מגיעים באופניים, ומה השכיחות היחסית באחוזים?
החלק של המגזר: 54 : 360 = 0.15.
מספר התלמידים: 0.15 · 40 = 6.
השכיחות היחסית: 0.15, כלומר 15%.
תשובה: 6 תלמידים, 15%
דוגמה 2 | שלושה מדדי מרכז
מספר שעות האימון של שבעה ספורטאים: 6, 3, 8, 6, 5, 9, 6. מצאו ממוצע, חציון ושכיח.
ממוצע: (6 + 3 + 8 + 6 + 5 + 9 + 6) : 7 = 43 : 7 ≈ 6.14.
חציון: מסדרים 3, 5, 6, 6, 6, 8, 9. הערך הרביעי הוא 6.
שכיח: 6 מופיע שלוש פעמים.
תשובה: ממוצע ≈ 6.14, חציון 6, שכיח 6
דוגמה 3 | חציון מטבלת שכיחויות
בטבלת שכיחויות של מספר אחים ל־12 תלמידים: ל־2 אין אחים, ל־5 אח אחד, ל־4 שני אחים ולאחד שלושה אחים. מצאו את החציון.
יש 12 ערכים, ולכן החציון הוא ממוצע המקומות 6 ו־7.
0 במקומות 1 ו־2, הערך 1 במקומות 3 עד 7.
במקומות 6 ו־7 הערך 1, ולכן החציון 1.
תשובה: החציון 1
דוגמה 4 | ממוצע אחרי שינוי
הממוצע של 4 ציונים הוא 75. נוסף ציון חמישי, והממוצע עלה ל־78. מהו הציון החמישי?
סכום ארבעת הציונים: 4 · 75 = 300.
סכום חמשת הציונים: 5 · 78 = 390.
הציון החמישי: 390 − 300 = 90.
תשובה: 90
דוגמה 5 | אותו מרכז, פיזור שונה
תוצאות בשתי קבוצות: א׳ 8, 9, 10, 11, 12. ב׳ 2, 6, 10, 14, 18. השוו מרכז ופיזור.
ממוצע א׳: 50 : 5 = 10. ממוצע ב׳: 50 : 5 = 10. גם החציון של שתיהן 10.
טווח א׳: 12 − 8 = 4. טווח ב׳: 18 − 2 = 16.
בקבוצה ב׳ הערכים רחוקים יותר מהממוצע 10, ולכן גם סטיית התקן שלה גדולה יותר.
תשובה: אותו מרכז, ובקבוצה ב׳ פיזור גדול יותר