פונקציית שורש | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | פונקציית שורש | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות בפונקציית שורש לכיתה י׳, 4 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
מטרות הלמידה
- למצוא תחום הגדרה, טווח ושורשים של פונקציית שורש
- לפתור משוואות עם שורש ולפסול פתרונות זרים
- לגזור פונקציות שורש, למצוא משיק ונקודות קיצון ולפתור בעיות קיצון
השיעור
תחום וטווח
√u מוגדר רק כאשר u ≥ 0, והתוצאה תמיד לא שלילית. לכן f(x) = √x + k מקבלת ערכים y ≥ k, ו־f(x) = k − √x מקבלת y ≤ k.
משוואות עם שורש
מבודדים את השורש, מעלים בריבוע ופותרים. העלאה בריבוע עלולה להוסיף פתרון זר, ולכן מציבים כל פתרון במשוואה המקורית. צד שווה לשורש חייב להיות לא שלילי.
נגזרת
(√x)′ = 1 ÷ (2√x). בהרכבה: (√u)′ = u′ ÷ (2√u). במכפלה: (f · g)′ = f′g + fg′. הנגזרת לא מוגדרת בקצה התחום שבו u = 0.
קיצון
מוצאים נקודות שבהן f′ = 0 בתוך התחום, ובודקים את סימן f′ משני הצדדים. בבעיות קיצון בונים פונקציה של משתנה אחד ומגדירים לה תחום מתאים.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | תחום וטווח
f(x) = √(10 − 2x) + 1: מצאו תחום וטווח.
10 − 2x ≥ 0, ולכן x ≤ 5.
השורש ≥ 0, ולכן y ≥ 1.
תשובה: x ≤ 5, y ≥ 1
דוגמה 2 | משוואה עם פתרון זר
פתרו √(x + 7) = x + 1.
x + 7 = x² + 2x + 1, ולכן x² + x − 6 = 0.
x = 2 או x = −3.
x = 2: 3 = 3. x = −3: 2 = −2, נפסל.
תשובה: x = 2
דוגמה 3 | משיק
מצאו את המשיק ל־y = √(x + 5) בנקודה x = 4.
נקודה: (4, 3).
y′ = 1 ÷ (2√(x + 5)), ולכן y′(4) = 1/6.
y − 3 = (x − 4) ÷ 6.
תשובה: y = x/6 + 7/3
דוגמה 4 | קיצון
מצאו את נקודת הקיצון של f(x) = 6√x − x.
f′(x) = 3 ÷ √x − 1 = 0, ולכן √x = 3, x = 9.
משמאל f′ > 0 ומימין f′ < 0: מקסימום.
f(9) = 18 − 9 = 9.
תשובה: מקסימום (9, 9)