הסתברות מותנית, טבלאות ועצים | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | הסתברות מותנית, טבלאות ועצים | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות בהסתברות מותנית, טבלאות ועצים לכיתה י׳, 4 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
מטרות הלמידה
- לחשב הסתברות מותנית מטבלה דו־ממדית ומנוסחה
- לבנות עץ דו־שלבי ולחשב הסתברות שלמה והסתברות מותנית הפוכה
- לבדוק אם שני מאורעות תלויים או בלתי תלויים
השיעור
הסתברות מותנית
P(B | A) היא ההסתברות ל־B כשידוע ש־A קרה. מצמצמים את מרחב המדגם ל־A: P(B | A) = P(A ו־B) ÷ P(A).
טבלה דו־ממדית
בטבלה 2×2 או 2×3 כל תא הוא חיתוך של שני מאורעות. הסתברות מותנית מחשבים בתוך שורה או עמודה אחת: התא חלקי סך השורה או העמודה.
עץ דו־שלבי
בכל ענף כותבים הסתברות מותנית. כופלים לאורך ענף כדי לקבל חיתוך, ומחברים ענפים שמובילים לאותה תוצאה (נוסחת ההסתברות השלמה).
תלות ואי־תלות
A ו־B בלתי תלויים אם P(B | A) = P(B), ובאופן שקול P(A ו־B) = P(A) · P(B). אחרת הם תלויים.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | מטבלה
80 תלמידים: 50 בחרו מגמת מדעים, מהם 20 בנות. סך הבנות 40. מה P(מדעים | בת)?
מצמצמים ל־40 הבנות.
בנות במדעים: 20.
P = 20/40 = 0.5.
תשובה: 0.5
דוגמה 2 | עץ
P(גשם) = 0.3. בגשם P(איחור) = 0.4, בלי גשם 0.1. מה P(איחור)?
0.3 · 0.4 = 0.12.
0.7 · 0.1 = 0.07.
P(איחור) = 0.19.
תשובה: 0.19
דוגמה 3 | מותנית הפוכה
באותו עץ: מה P(גשם | איחור)?
P(גשם ואיחור) = 0.12.
0.12 ÷ 0.19 = 12/19.
תשובה: 12/19
דוגמה 4 | בדיקת אי־תלות
P(A) = 0.4, P(B) = 0.25, P(A ו־B) = 0.1. האם בלתי תלויים?
0.4 · 0.25 = 0.1.
שווה ל־P(A ו־B), ולכן בלתי תלויים.
תשובה: בלתי תלויים