קדם־אנליזה: פונקציה קווית וריבועית | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | קדם־אנליזה: פונקציה קווית וריבועית | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות בקדם־אנליזה: פונקציה קווית וריבועית לכיתה י׳, 4 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
מטרות הלמידה
- למצוא שיפוע, משוואת ישר ונקודות חיתוך עם הצירים
- למצוא קודקוד, שורשים ותחומי עלייה וירידה של פרבולה
- לקבוע תחומי חיוביות ושליליות ולמצוא חיתוך של פרבולה וישר
השיעור
פונקציה קווית
y = mx + b. השיפוע m קובע עלייה (m > 0), ירידה (m < 0) או פונקציה קבועה (m = 0). b הוא החיתוך עם ציר y. שורש: מציבים y = 0.
פרבולה: קודקוד וכיוון
y = ax² + bx + c. אם a > 0 הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ולקודקוד מינימום; אם a < 0 כלפי מטה ומקסימום. x של הקודקוד = −b ÷ (2a), והציר x = −b ÷ (2a) הוא ציר הסימטריה.
שורשים ותחומי סימן
שורשים מפירוק או מנוסחת השורשים. הדיסקרימיננטה b² − 4ac קובעת: חיובית שני שורשים, אפס שורש אחד, שלילית אין. פרבולה פתוחה כלפי מעלה שלילית בין השורשים וחיובית מחוץ להם.
חיתוך גרפים
כדי למצוא חיתוך של שני גרפים משווים את הביטויים, פותרים את המשוואה, ומציבים את ה־x שהתקבל באחת הפונקציות כדי לקבל y.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | ישר משתי נקודות
מצאו את משוואת הישר דרך (−1, 4) ו־(2, −2).
m = (−2 − 4) ÷ (2 − (−1)) = −6 ÷ 3 = −2.
y − 4 = −2(x + 1), ולכן y = −2x + 2.
תשובה: y = −2x + 2
דוגמה 2 | קודקוד ושורשים
y = x² − 2x − 8: מצאו קודקוד ושורשים.
x של הקודקוד: 2 ÷ 2 = 1, ו־y = 1 − 2 − 8 = −9.
(x − 4)(x + 2) = 0: x = 4 או x = −2.
תשובה: קודקוד (1, −9), שורשים −2 ו־4
דוגמה 3 | תחומי סימן
איפה y = −x² + 9 חיובית?
שורשים: x = ±3.
a < 0: פתוחה כלפי מטה, חיובית בין השורשים.
תשובה: −3 < x < 3
דוגמה 4 | פרבולה וישר
מצאו את נקודות החיתוך של y = x² − 1 ו־y = x + 1.
x² − 1 = x + 1, ולכן x² − x − 2 = 0.
(x − 2)(x + 1) = 0: x = 2 או x = −1.
מציבים בישר: (2, 3) ו־(−1, 0).
תשובה: (2, 3) ו־(−1, 0)