חשבון דיפרנציאלי של פולינום | שיעור בשבעה שלבים ושש דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תשפ״ז
שיעור בחשבון דיפרנציאלי של פולינום לכיתה י׳, 4 יחידות: ההסבר, ואחריו 6 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
מטרות הלמידה
- להבין את הנגזרת כקצב שינוי וכשיפוע המשיק, ולגזור פולינום
- למצוא משוואת משיק ולחקור פולינום: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
- לקרוא מגרף הנגזרת את התנהגות הפונקציה, ולנמק
- לגזור מכפלה והרכבה של פולינומים
- לפתור בעיות קיצון בהקשר גאומטרי וגרפי
השיעור
שלב 1 | מקצב שינוי ממוצע לשיפוע
קצב השינוי הממוצע של f בין x = a ל־x = b הוא (f(b) − f(a)) : (b − a), וזה השיפוע של המיתר בין שתי הנקודות בגרף. כשמקרבים את b אל a, המיתר הולך ומתקרב למשיק בנקודה. השיפוע של המשיק הזה הוא הנגזרת f′(a), קצב השינוי הרגעי.
שלב 2 | סימון וחישוב
כלל החזקה: הנגזרת של xⁿ היא n · xⁿ⁻¹. נגזרת של קבוע היא 0, ומקדם נשאר במקומו. פולינום גוזרים איבר איבר. למשל f(x) = 2x³ − 5x + 4 נותן f′(x) = 6x² − 5. f′(a) הוא מספר, ו־f′(x) היא פונקציה.
שלב 3 | משוואת המשיק
בשביל משיק בנקודה שבה x = a צריך שני דברים: נקודת ההשקה (a, f(a)) והשיפוע m = f′(a). אחר כך y − f(a) = m(x − a). משיק מקביל לישר נתון: משווים את f′(x) לשיפוע של הישר. משיק אופקי: f′(x) = 0.
שלב 4 | עלייה, ירידה ונקודות קיצון
היכן ש־f′(x) > 0 הפונקציה עולה, והיכן ש־f′(x) < 0 היא יורדת. נקודות שבהן f′(x) = 0 הן נקודות חשודות. בונים טבלת סימנים לנגזרת: מעבר מחיובית לשלילית נותן מקסימום מקומי, ומשלילית לחיובית נותן מינימום מקומי. אם אין שינוי סימן, אין קיצון.
שלב 5 | גרף הפונקציה וגרף הנגזרת
בגרף של f′ לא מחפשים את הגובה של f, אלא את הסימן של f′. החלק של גרף f′ שמעל ציר x מתאים לתחום שבו f עולה, והחלק שמתחת לציר מתאים לתחום שבו f יורדת. נקודה שבה גרף f′ חוצה את ציר x מתאימה לנקודת קיצון של f. נקודה שבה גרף f′ רק נוגע בציר אינה קיצון.
שלב 6 | מכפלה והרכבה
מכפלה: (u · v)′ = u′ · v + u · v′. הרכבה של חזקה: הנגזרת של (g(x))ⁿ היא n · (g(x))ⁿ⁻¹ · g′(x). החלק g′(x) הוא הנגזרת של הביטוי הפנימי, ושוכחים אותו לעיתים קרובות. אפשר לבדוק תמיד בפתיחת סוגריים.
שלב 7 | בעיות קיצון
סדר העבודה: 1. בוחרים משתנה x ומסמנים בשרטוט. 2. כותבים את הגודל שרוצים להגדיל או להקטין כפונקציה של x בלבד. 3. רושמים את התחום שבו x אפשרי. 4. גוזרים ומשווים ל־0. 5. בודקים בטבלת סימנים שזו באמת נקודת מקסימום או מינימום. 6. עונים על השאלה שנשאלה, לא רק על x.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | שיפוע בנקודה
נתונה f(x) = x³ − 4x. מצאו את שיפוע המשיק בנקודה שבה x = 2.
גוזרים: f′(x) = 3x² − 4.
מציבים x = 2: f′(2) = 12 − 4 = 8.
תשובה: השיפוע 8
דוגמה 2 | משוואת משיק
נתונה f(x) = x² − 2x + 3. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה x = 3.
נקודת ההשקה: f(3) = 9 − 6 + 3 = 6, כלומר (3, 6).
f′(x) = 2x − 2, ולכן השיפוע f′(3) = 4.
y − 6 = 4(x − 3), ולכן y = 4x − 6.
תשובה: y = 4x − 6
דוגמה 3 | חקירה
חקרו את f(x) = 2x³ − 6x: מצאו תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון.
f′(x) = 6x² − 6 = 6(x − 1)(x + 1). נקודות חשודות: x = −1 ו־x = 1.
טבלת סימנים: משמאל ל־−1 חיובית, בין −1 ל־1 שלילית, מימין ל־1 חיובית.
f עולה ב־x < −1 וב־x > 1, ויורדת ב־−1 < x < 1.
מקסימום (−1, 4) ומינימום (1, −4).
תשובה: מקסימום (−1, 4), מינימום (1, −4)
דוגמה 4 | מגרף הנגזרת לפונקציה
גרף הנגזרת f′ הוא פרבולה שחותכת את ציר x ב־x = 0 וב־x = 4, ונמצאת מתחת לציר בין שתי הנקודות. מה אפשר להסיק על f?
מתחת לציר בין 0 ל־4: שם f′ < 0, ולכן f יורדת.
מחוץ לקטע הפרבולה מעל הציר: f עולה.
ב־x = 0 עלייה ואחריה ירידה: מקסימום. ב־x = 4 ירידה ואחריה עלייה: מינימום.
תשובה: מקסימום ב־x = 0, מינימום ב־x = 4
דוגמה 5 | מכפלה והרכבה
גזרו את f(x) = x · (x − 2)² ומצאו את f′(3).
לפי כלל המכפלה: f′(x) = 1 · (x − 2)² + x · 2(x − 2).
את (x − 2)² גזרנו לפי כלל השרשרת; הנגזרת הפנימית היא 1.
f′(3) = 1 + 3 · 2 · 1 = 7.
תשובה: f′(3) = 7
דוגמה 6 | בעיית קיצון גרפית
מלבן חסום בין ציר x לגרף y = 36 − 3x²: שני קודקודים על ציר x, ושני הקודקודים העליונים על הגרף באופן סימטרי לציר y. מצאו את השטח הגדול ביותר של המלבן.
אם הקודקוד הימני העליון (x, 36 − 3x²), אורך המלבן 2x וגובהו 36 − 3x².
השטח S(x) = 2x(36 − 3x²) = 72x − 6x³, כאשר 0 < x < √12.
S′(x) = 72 − 18x² = 0, ולכן x² = 4 ו־x = 2 (בתחום).
משמאל ל־2 הנגזרת חיובית ומימין שלילית: מקסימום. S(2) = 4 · 24 = 96.
תשובה: השטח הגדול ביותר 96