חשבון דיפרנציאלי של פולינום | מבחן מצטבר | 8 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

תשובות לתרגול

1. בנקודות שבהן ⁦x = 2⁩ ו־⁦x = −2⁩

   1. משיק אופקי: ⁦f′(x) = 0⁩.

   2. ⁦f′(x) = 3x² − 12 = 0⁩, כלומר ⁦x² = 4⁩, ולכן ⁦x = 2⁩ או ⁦x = −2⁩.

2. 4

   1. לפי כלל המכפלה: ⁦f′(x) = 2(x − 1)(x + 2) + (x − 1)² = (x − 1)(3x + 3) = 3(x − 1)(x + 1)⁩.

   2. משמאל ל־⁦−1⁩ הנגזרת חיובית ובין ⁦−1⁩ ל־1 שלילית: מקסימום ב־⁦x = −1⁩.

   3. ⁦f(−1) = 4 · 1 = 4⁩.

3. ⁦y = 3x − 5⁩

   1. נקודת ההשקה: ⁦f(2) = 1⁩, כלומר ⁦(2, 1)⁩.

   2. ⁦f′(x) = 3(x − 1)²⁩, ולכן ⁦f′(2) = 3⁩.

   3. ⁦y − 1 = 3(x − 2)⁩, ולכן ⁦y = 3x − 5⁩.

4. יש ל־f מינימום ב־⁦x = 4⁩

   1. ישר עולה שחותך את ציר x ב־4: משמאל ל־4 הוא מתחת לציר, ומימין מעליו.

   2. לכן f יורדת עד 4 ועולה אחריו: מינימום ב־⁦x = 4⁩.

5. ⁦0 < x < 4⁩

   1. ⁦f(x) = x³ − 6x²⁩, ולכן ⁦f′(x) = 3x² − 12x = 3x(x − 4)⁩.

   2. הנגזרת שלילית בין השורשים 0 ו־4.

   3. לכן f יורדת בתחום ⁦0 < x < 4⁩.

6. 16

   1. אם הקודקוד ⁦(x, 12 − x²)⁩, השטח ⁦S(x) = x(12 − x²) = 12x − x³⁩.

   2. ⁦S′(x) = 12 − 3x² = 0⁩, ולכן ⁦x = 2⁩ (בתחום ⁦x > 0)⁩. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום.

   3. ⁦S(2) = 2 · 8 = 16⁩.

7. יש ל־f מינימום ב־⁦x = 3⁩ בלבד, וב־⁦x = 0⁩ אין קיצון

   1. הנגזרת מתאפסת ב־⁦x = 0⁩ וב־⁦x = 3⁩.

   2. ⁦x²⁩ אינו שלילי, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של ⁦x − 3⁩: שלילי לכל ⁦x < 3⁩ (חוץ מ־0) וחיובי לכל ⁦x > 3⁩.

   3. ב־⁦x = 0⁩ אין שינוי סימן, ולכן אין קיצון. ב־⁦x = 3⁩ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום.

8. −16

   1. נקודת ההשקה: ⁦f(2) = 8 − 6 = 2⁩, כלומר ⁦(2, 2)⁩.

   2. ⁦f′(x) = 3x² − 3⁩, ולכן השיפוע ⁦f′(2) = 9⁩.

   3. ⁦y − 2 = 9(x − 2)⁩, ולכן ⁦y = 9x − 16⁩.

   4. על ציר y מתקיים ⁦x = 0⁩, ולכן ⁦y = −16⁩.