אנכים אמצעיים וקווים מיוחדים במשולש | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות | גרסת הדפסה

שיעור באנכים אמצעיים וקווים מיוחדים במשולש לכיתה י׳, 4 יחידות: ההסבר, ואחריו 4 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.

השיעור

האנך האמצעי

האנך האמצעי לקטע עובר דרך אמצעו ומאונך לו. כל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה משני קצות הקטע. המשפט ההפוך: נקודה שנמצאת במרחק שווה משני קצות קטע נמצאת על האנך האמצעי לו.

מרכז המעגל החוסם

שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת. היא במרחק שווה משלושת הקודקודים, ולכן היא מרכז המעגל החוסם. במשולש חד זווית היא בפנים, בישר זווית באמצע היתר, ובקהה זווית מחוץ למשולש.

תיכונים

תיכון מחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו, ומחלק את שטח המשולש לשני חלקים שווים. שלושת התיכונים נפגשים בנקודה שמחלקת כל תיכון ביחס ⁦2 : 1⁩ מהקודקוד. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

גבהים

גובה יורד מקודקוד ומאונך לצלע שמולו (או להמשכה). השטח זהה לכל זוג של צלע וגובה אליה: ⁦S = (a · h⁩ₐ) : 2. במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם הגובה לבסיס.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 | המשפט ההפוך

במשולש ABC נתון ⁦AB = AC⁩. הוכיחו ש־A נמצאת על האנך האמצעי לצלע BC.

A במרחק שווה מ־B ומ־C.
לפי המשפט ההפוך לתכונת האנך האמצעי, A נמצאת על האנך האמצעי ל־BC.

תשובה: A על האנך האמצעי ל־BC

דוגמה 2 | היקף בעזרת אנך אמצעי

במשולש ABC האנך האמצעי ל־AB חותך את BC ב־D. נתון ⁦AC = 7⁩ ו־⁦BC = 12⁩. מצאו את היקף המשולש ADC.

D על האנך האמצעי ל־AB, ולכן ⁦DA = DB⁩.
היקף ⁦ADC = DB + DC + AC = BC + AC⁩.
⁦12 + 7 = 19⁩.

תשובה: 19

דוגמה 3 | מעגל חוסם

במשולש ישר זווית הניצבים 5 ו־12. מצאו את רדיוס המעגל החוסם.

היתר ⁦√(25 + 144) = 13⁩.
המרכז באמצע היתר, ולכן ⁦⁦R = 13⁩ : ⁦2 = 6.5⁩⁩.

תשובה: ⁦R = 6.5⁩

דוגמה 4 | מפגש התיכונים

במשולש שווה שוקיים ⁦AB = AC = 10, BC = 16. G⁩ מפגש התיכונים. מצאו את AG.

התיכון לבסיס הוא גם גובה: ⁦AD = √(100 − 64) = 6⁩.
AG : ⁦⁦GD = 2⁩ : 1⁩, ולכן ⁦⁦AG = 6 · 2⁩ : ⁦3 = 4⁩⁩.