דף תרגול

קטעי אמצעים ודמיון משולשים | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | קטעי אמצעים ודמיון משולשים | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה בקטעי אמצעים ודמיון משולשים לכיתה י׳, 4 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

להשתמש במשפט קטע האמצעים במשולש ובטרפז ובמשפט ההפוך
להוכיח דמיון משולשים לפי ז.ז, צ.ז.צ או צ.צ.צ ולמצוא יחס דמיון
לחשב צלעות, היקפים ושטחים בעזרת יחס הדמיון וריבועו

לפני שמתחילים

כתבו קודם מה נתון: אמצע? מקביל? זוויות שוות? אחר כך בחרו משפט וכתבו את תנאיו לפני החישוב.

תזכורת

במשולש: מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה.
בטרפז: מקביל לבסיסים ושווה לממוצע שלהם.
הפוך: דרך אמצע צלע ומקביל לצלע שנייה, חוצה את השלישית.
ז.ז, צ.ז.צ, צ.צ.צ.

שאלות

שאלה 1

במשולש ABC הנקודות D ו־E הן אמצעי הצלעות AB ו־AC. נתון ⁦BC = 14⁩. מה אורך DE?

..........................................................

שאלה 2

בטרפז אורכי הבסיסים 10 ו־16. מה אורך קטע האמצעים של הטרפז?

..........................................................

שאלה 3

המשולשים ABC ו־DEF דומים ביחס 1 : 3 (ABC הקטן). צלע של 4 ב־ABC מתאימה לאיזה אורך ב־DEF?

..........................................................

שאלה 4

שני משולשים דומים ביחס 3 : 1. שטח הקטן 5. מה שטח הגדול?

..........................................................

שאלה 5

במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ו־DE ∥ BC. נתון ⁦AD = 4, DB = 6, AE = 6⁩. מה אורך EC?

..........................................................

שאלה 6

במשולש ABC, DE ∥ BC, D על AB ו־E על AC. נתון ⁦AD = 3, AB = 9, BC = 12⁩. מה אורך DE?

..........................................................

שאלה 7

במרובע אורכי האלכסונים 10 ו־14. מחברים את אמצעי ארבע הצלעות. מה היקף המרובע שנוצר?

..........................................................

שאלה 8

במשולש ABC הנקודה D היא אמצע AB. דרכה מעבירים ישר מקביל ל־BC, שחותך את AC בנקודה E. נתון ⁦AC = 11⁩. מה אורך AE?

..........................................................

שאלה 9

במשולש ABC, DE ∥ BC, D על AB, ו־AD : ⁦DB = 2⁩ : 3. שטח △ADE הוא 8. מה שטח △ABC?

..........................................................

שאלה 10

במשולש ישר־זווית הניצבים 6 ו־8 והיתר 10. מה אורך הגובה ליתר?

..........................................................

שאלה 11

עמוד באורך 2 מ׳ מטיל צל של 3 מ׳. באותה שעה עץ מטיל צל של 12 מ׳. מה גובה העץ?

..........................................................

שאלה 12

בטרפז ABCD (AB ∥ ⁦CD), AB = 6⁩ ו־⁦CD = 15⁩. האלכסונים נחתכים בנקודה O, ו־⁦AC = 14⁩. מה אורך AO?

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 7

משפט קטע האמצעים במשולש: קטע שמחבר אמצעי שתי צלעות מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
⁦DE = BC ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: 13

קטע האמצעים בטרפז מחבר את אמצעי השוקיים, מקביל לבסיסים ושווה לממוצע שלהם.
⁦(10 + 16) ÷ 2 = 13⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 12

במשולשים דומים כל הצלעות המתאימות באותו יחס.
⁦4 · 3 = 12⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: 45

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון: ⁦3² = 9⁩.
⁦5 · 9 = 45⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 9

DE ∥ BC, ולכן לפי משפט תאלס המורחב (או דמיון המשולשים ADE ו־ABC) AD : ⁦DB = AE⁩ : EC.
4 : ⁦6 = 6⁩ : EC.
⁦EC = 6 · 6 ÷ 4 = 9⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 4

DE ∥ BC, ולכן △ADE ∼ △ABC (ז.ז: זווית A משותפת וזוויות מתאימות שוות).
יחס הדמיון AD : ⁦AB = 3⁩ : ⁦9 = 1⁩ : 3.
⁦DE = 12 ÷ 3 = 4⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 24

כל צלע של המרובע החדש היא קטע אמצעים במשולש שאחת מצלעותיו היא אלכסון, ולכן חצי מהאלכסון.
שתי צלעות של 5 ושתיים של 7.
היקף = ⁦10 + 14 = 24⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: 5.5

המשפט ההפוך לקטע אמצעים: ישר שעובר דרך אמצע צלע ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית.
לכן E אמצע AC: ⁦AE = 11 ÷ 2 = 5.5⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 50

△ADE ∼ △ABC, ויחס הדמיון AD : ⁦AB = 2⁩ : 5.
יחס השטחים ⁦(2/5)² = 4/25⁩.
שטח ⁦ABC = 8 · 25 ÷ 4 = 50⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 4.8

הגובה ליתר יוצר משולשים דומים למשולש המקורי (ז.ז).
מהשטח: ⁦6 · 8 = 10 · h⁩.
⁦h = 48 ÷ 10 = 4.8⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 11: 8

קרני השמש מקבילות, ולכן משולשי העמוד־צל והעץ־צל דומים (ז.ז).
2 : ⁦3 = h⁩ : 12.
⁦h = 8⁩ מ׳.

הצגת פתרון מלא

שאלה 12: 4

AB ∥ CD, ולכן △AOB ∼ △COD (ז.ז: זוויות מתחלפות).
יחס הדמיון 6 : ⁦15 = 2⁩ : 5, ולכן AO : ⁦OC = 2⁩ : 5.
⁦AO = 14 · 2 ÷ 7 = 4⁩.