קטעי אמצעים ודמיון משולשים | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | קטעי אמצעים ודמיון משולשים | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות בקטעי אמצעים ודמיון משולשים לכיתה י׳, 4 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
מטרות הלמידה
- להשתמש במשפט קטע האמצעים במשולש ובטרפז ובמשפט ההפוך
- להוכיח דמיון משולשים לפי ז.ז, צ.ז.צ או צ.צ.צ ולמצוא יחס דמיון
- לחשב צלעות, היקפים ושטחים בעזרת יחס הדמיון וריבועו
השיעור
קטע אמצעים במשולש
קטע שמחבר אמצעי שתי צלעות במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. המשפט ההפוך: ישר שעובר דרך אמצע צלע אחת ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית.
קטע אמצעים בטרפז
קטע שמחבר את אמצעי השוקיים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה לממוצע שלהם: (a + b) ÷ 2. שטח טרפז = קטע האמצעים כפול הגובה.
משפטי דמיון
שני משולשים דומים אם: שתי זוויות שוות (ז.ז), שתי צלעות באותו יחס והזווית שביניהן שווה (צ.ז.צ), או שלוש צלעות באותו יחס (צ.צ.צ). ישר מקביל לצלע במשולש יוצר משולש דומה למקורי.
יחס דמיון, היקף ושטח
אם יחס הדמיון k, אז יחס הצלעות, הגבהים וההיקפים הוא k, ויחס השטחים הוא k². כותבים את הקודקודים בסדר מתאים כדי להתאים צלעות נכון.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | קטע אמצעים
במשולש ABC, D אמצע AB ו־E אמצע AC. נתון DE = 6.5. מצאו את BC ונמקו.
DE מחבר אמצעי שתי צלעות, ולכן לפי משפט קטע האמצעים DE ∥ BC ו־DE = BC ÷ 2.
BC = 2 · 6.5 = 13.
תשובה: BC = 13
דוגמה 2 | הוכחת דמיון
במשולש ABC, D על AB ו־E על AC, ו־DE ∥ BC. הוכיחו △ADE ∼ △ABC.
∠A משותפת.
∠ADE = ∠ABC כזוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
שתי זוויות שוות: △ADE ∼ △ABC לפי ז.ז.
תשובה: דומים לפי ז.ז
דוגמה 3 | צלע חסרה
באותו מצב נתון AD = 6, DB = 4, DE = 9. מצאו את BC.
AB = 10, ויחס הדמיון AD : AB = 6 : 10 = 3 : 5.
DE : BC = 3 : 5, ולכן BC = 9 · 5 ÷ 3 = 15.
תשובה: BC = 15
דוגמה 4 | שטחים
שני משולשים דומים, צלעות מתאימות 4 ו־10. שטח הקטן 12. מצאו את שטח הגדול.
k = 10 ÷ 4 = 2.5.
יחס השטחים k² = 6.25.
12 · 6.25 = 75.
תשובה: 75