בוחן קצר

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | בוחן מסכם | 10 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

בוחן מסכם בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: 10 שאלות, 100 נקודות, 25 דקות.

מטרות הלמידה

לבנות פונקציית מטרה פולינומית מהקשר מילולי
לקבוע תחום חוקי מתוך ההקשר ולבדוק קצוות
לפתור בעיות קיצון מספריות, כלכליות ומרחביות ולענות במבוקש

הנחיות

10 שאלות. 10 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 25 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

סכום שני מספרים הוא 16. מהי המכפלה הגדולה ביותר?
סכום שני מספרים הוא 10. מהו הערך הקטן ביותר של סכום ריבועיהם?
ההכנסה ממכירת x יחידות היא ⁦R(x) = 30x − 3x²⁩ שקלים. מהי ההכנסה הגדולה ביותר?
הרווח הוא ⁦P(x) = −2x² + 24x − 40⁩ שקלים. מהו הרווח הגדול ביותר?
העלות היא ⁦C(x) = x² − 8x + 30⁩ שקלים. מהי העלות הקטנה ביותר?
מיריעה ריבועית שצלעה 30 ס״מ חותכים בפינות ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה. ⁦V(x) = x(30 − 2x)²⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
מתי חובה להשוות גם את ערכי הפונקציה בקצוות התחום?
1. רק כשאין נקודות קריטיות
2. אף פעם; מספיקות הנקודות הקריטיות
3. כשהתחום סגור, כי הקיצון יכול להיות בקצה ולא בנקודה קריטית
4. רק בבעיות כלכליות
מצאנו ש־⁦x = 10⁩ נותן הכנסה מרבית, אבל השאלה ביקשה את המחיר ⁦p = 40 − 2x⁩. התלמיד ענה 10. מהי הטעות?
1. ענה במשתנה x ולא במבוקש; יש להציב בחזרה: ⁦p = 20⁩
2. אין טעות; 10 נכון
3. היה צריך לענות 40
4. המחיר תמיד שווה ל־x
ההפרש בין שני מספרים הוא 6. מהו הערך הקטן ביותר של מכפלתם?
סכום מקצועות תיבה שבסיסה ריבוע הוא 24 ס״מ: ⁦8x + 4h = 24⁩. הנפח ⁦V(x) = 6x² − 2x³⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

תשובות לתרגול

64
1. ⁦P(x) = 16x − x²⁩, ו־⁦P′(x) = 16 − 2x = 0⁩ נותן ⁦x = 8⁩.
2. ⁦P(8) = 8 · 8 = 64⁩.
50
1. ⁦S(x) = 2x² − 20x + 100⁩, ו־⁦S′(x) = 4x − 20 = 0⁩ נותן ⁦x = 5⁩.
2. ⁦S(5) = 25 + 25 = 50⁩.
75
1. ⁦R′(x) = 30 − 6x = 0⁩ נותן ⁦x = 5⁩.
2. ⁦R(5) = 150 − 75 = 75⁩ שקלים.
32
1. ⁦P′(x) = −4x + 24 = 0⁩ נותן ⁦x = 6⁩.
2. ⁦P(6) = −72 + 144 − 40 = 32⁩ שקלים.
14
1. ⁦C′(x) = 2x − 8 = 0⁩ נותן ⁦x = 4⁩.
2. ⁦C(4) = 16 − 32 + 30 = 14⁩ שקלים.
2000
1. התחום ⁦0 < x < 15⁩; ⁦V′(x) = 12(x − 5)(x − 15)⁩, ובתחום רק ⁦x = 5⁩.
2. ⁦V(5) = 5 · 20² = 2000⁩ סמ״ק.
כשהתחום סגור, כי הקיצון יכול להיות בקצה ולא בנקודה קריטית
1. בתחום סגור [a, b] המקסימום או המינימום יכולים להיות ב־a או ב־b.
2. לכן משווים את הערכים בקצוות לערכים בנקודות הקריטיות.
ענה במשתנה x ולא במבוקש; יש להציב בחזרה: ⁦p = 20⁩
1. x הוא מספר היחידות, לא המחיר.
2. מציבים: ⁦p = 40 − 2 · 10 = 20⁩ שקלים.
-9
1. ⁦P(x) = x(x − 6) = x² − 6x⁩, ו־⁦P′(x) = 2x − 6 = 0⁩ נותן ⁦x = 3⁩.
2. ⁦P(3) = 9 − 18 = −9⁩.
8
1. ⁦h = 6 − 2x⁩, והתחום ⁦0 < x < 3⁩.
2. ⁦V′(x) = 12x − 6x² = 6x(2 − x)⁩ נותן ⁦x = 2⁩, ואז ⁦h = 2⁩.
3. ⁦V(2) = 4 · 2 = 8⁩ סמ״ק.