חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | תשפ״ז
שיעור בחוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות לכיתה י׳, 4 יחידות: ההסבר, ואחריו 4 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
מטרות הלמידה
- להשתמש במשפט חוצה הזווית כדי לחשב קטעים וצלעות
- להוכיח בעזרת המשפט ההפוך שקטע חוצה זווית
- להשתמש במשפט נקודת מפגש חוצי הזוויות לנימוק ולחישוב זוויות
השיעור
משפט חוצה הזווית
נתון משולש ABC. אם AD חוצה את זווית A והנקודה D על הצלע BC, אז BD : DC = AB : AC. חוצה הזווית מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס של שתי הצלעות שיוצאות מאותו קודקוד.
המשפט ההפוך
אם הנקודה D על הצלע BC ומתקיים BD : DC = AB : AC, אז AD חוצה את זווית A. כדי להשתמש בו צריך שני תנאים: D על הצלע BC, ושוויון היחסים.
משפט נקודת מפגש חוצי הזוויות
שלושת חוצי הזוויות הפנימיות של משולש נפגשים בנקודה אחת. לכן אם חוצי שתי זוויות נפגשים בנקודה I, גם חוצה הזווית השלישית עובר דרך I.
איך כותבים פתרון
כותבים קודם את המשפט שבו משתמשים ואת התנאים שלו, אחר כך את היחס, ורק אז מחשבים. בסוף בודקים שסכום הקטעים שווה לצלע.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | חלוקת צלע
במשולש ABC נתון AB = 9, AC = 6 ו־BC = 10. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מצאו את BD ואת DC.
לפי משפט חוצה הזווית: BD : DC = AB : AC = 9 : 6 = 3 : 2.
BC מתחלקת ל־5 חלקים, כל חלק 2.
BD = 6 ו־DC = 4. בדיקה: 6 + 4 = 10.
תשובה: BD = 6, DC = 4
דוגמה 2 | המשפט ההפוך
במשולש ABC הנקודה D על BC, BD = 4, DC = 6, AB = 8 ו־AC = 12. הוכיחו ש־AD חוצה את זווית A.
BD : DC = 4 : 6 = 2 : 3.
AB : AC = 8 : 12 = 2 : 3.
D על הצלע BC והיחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית AD חוצה את זווית A.
תשובה: AD חוצה את זווית A
דוגמה 3 | משוואה
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון AB = 6, AC = x, BD = 4 ו־DC = 6. מצאו את x.
6 : x = 4 : 6.
4x = 36, ולכן x = 9.
תשובה: x = 9
דוגמה 4 | נקודת המפגש
במשולש ABC חוצי הזוויות של A ושל B נפגשים בנקודה I. נתון ∠A = 70° ו־∠B = 50°. מצאו את ∠ICB.
לפי משפט נקודת מפגש חוצי הזוויות, CI חוצה את זווית C.
∠C = 180° − 70° − 50° = 60°.
∠ICB = 30°.
תשובה: ∠ICB = 30°