דף תרגול

גאומטריה אנליטית | דף עבודה | 14 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה אנליטית | תשפ״ז

דף עבודה | 14 שאלות בגאומטריה אנליטית לכיתה י׳, 4 יחידות: נקודות, קטעים, שיפוע ומשוואת ישר, מקבילות ומאונכות ומשולשים ומרובעים, עם פתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

לתרגם בין נקודות, טבלה ומשוואת ישר
לחשב שיפוע, אמצע קטע ומרחק
להוכיח מקבילות ומאונכות
לשלב חישוב שיעורים עם נימוק גאומטרי במשולשים ומרובעים

עבודה עצמאית

שרטטו טיוטה על דף וסמנו את הנתונים; החישוב והנימוק הם שקובעים. בשאלת מספר הקלידו מספר בלבד. בשאלת בחירה בחרו לאחר שכתבתם את הדרך. בשאלה רב־סעיפית פתרו על דף והשוו כל סעיף לפתרון המלא: בדיקת טקסט מדויק אינה בודקת הוכחה או משוואה שקולה. הרמות מתארות מורכבות הוראתית, לא דירוג בגרות מכויל.

תרגול

נתונות ⁦A(−2,1)⁩, ⁦B(4,7)⁩. מה שיפוע הישר AB?
קצות קטע הם ⁦A(−4,2)⁩, ⁦B(6,8)⁩. מצאו את אמצע הקטע.
1. ⁦(2,10)⁩
2. ⁦(1,5)⁩
3. ⁦(5,1)⁩
4. ⁦(−1,5)⁩
מה אורך הקטע בין ⁦A(1,−1)⁩ ובין ⁦B(4,3)⁩?
מצאו משוואת ישר ששיפועו −2 ועובר ב־⁦P(3,1)⁩.
1. y = −2x − 5
2. y = 2x − 5
3. y = −2x + 7
4. y = −2x + 1
הישרים y = 2x − 1 ו־y = −x + 8 נחתכים ב־P. מה שיעור x של P?
נקודות של ישר נרשמו בטבלה. מה משוואתו?

x y
−2 7
0 3
2 −1
1. y = 2x + 3
2. y = −2x − 3
3. y = −x + 3
4. y = −2x + 3
מצאו ישר דרך ⁦(4,1)⁩, המאונך ל־y = −2x + 6.
1. y = −0.5x + 3
2. y = 2x − 7
3. y = −2x + 9
4. y = 0.5x − 1
במשולש ⁦A(−1,2)⁩, ⁦B(5,2)⁩, ⁦C(2,6)⁩, מה השטח?
תלמיד חישב שיפוע בין ⁦A(1,5)⁩, ⁦B(4,−1)⁩ כך: (5 − (−1))/(4 − 1) = 2. מה השיפוע הנכון?
⁦A(1,1)⁩, ⁦B(5,2)⁩, ⁦C(6,5)⁩ הם קודקודים עוקבים של מקבילית ABCD. מצאו D.
1. ⁦(0,−2)⁩
2. ⁦(2,4)⁩
3. ⁦(10,6)⁩
4. ⁦(4,2)⁩
במשולש ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(6,3)⁩, ⁦C(1,5)⁩, מצאו את הגובה מ־C לישר AB.
1. y = 0.5x + 4.5
2. y = −2x + 7
3. y = −2x
4. y = 2x + 3
נתונות ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(8,4)⁩, ⁦C(1,7)⁩. H היא נקודת המפגש של הגובה מ־C עם AB. מצאו H.
1. ⁦(3,1.5)⁩
2. ⁦(3.6,1.8)⁩
3. ⁦(1.8,3.6)⁩
4. ⁦(4,2)⁩
⁦A(−1,0)⁩, ⁦B(1,2)⁩, ⁦C(3,0)⁩, ⁦D(1,−2)⁩ הם קודקודים עוקבים. הוכיחו שזה ריבוע ומצאו את השטח.
תלמיד טען שמרובע עם אלכסונים החוצים זה את זה הוא תמיד מלבן. בדקו את ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(4,0)⁩, ⁦C(6,3)⁩, ⁦D(2,3)⁩, לפי הסדר.
1. מלבן
2. ריבוע
3. מקבילית שאינה מלבן
4. מרובע שאינו מקבילית

x	y
−2	7
0	3
2	−1

תשובות לתרגול

1
1. בוחרים אותו סדר נקודות במונה ובמכנה: השינוי ב־y הוא 7 − 1 = 6, וב־x הוא 4 − (−2) = 6.
2. מחלקים שינוי אנכי בשינוי אופקי: m = 6/6 = 1. על כל יחידה ימינה עולים יחידה אחת.
⁦(1,5)⁩
1. ממוצעים כל שיעור בנפרד: שיעור x של האמצע הוא (−4 + 6)/2 = 1.
2. שיעור y של האמצע הוא (2 + 8)/2 = 5. האמצע הוא ⁦M(1,5)⁩; אין לערבב שיעורי x עם שיעורי y.
5
1. ההפרש האופקי הוא 4 − 1 = 3 וההפרש האנכי הוא 3 − (−1) = 4.
2. לפי פיתגורס אורך הקטע הוא √(3² + 4²) = √25 = 5 יחידות. אורך אינו מספר שלילי.
y = −2x + 7
1. כותבים y − 1 = −2(x − 3), כדי לעגן את השיפוע בנקודה הנתונה.
2. פותחים סוגריים: y − 1 = −2x + 6, ומוסיפים 1: y = −2x + 7. בדיקה ב־x = 3 נותנת y = 1.
3
1. בנקודת החיתוך אותו y בשתי המשוואות: 2x − 1 = −x + 8.
2. מעבירים אגפים: 3x = 9 ולכן x = 3. מציבים ומקבלים y = 5; החיתוך המלא הוא ⁦(3,5)⁩.
y = −2x + 3
1. במעבר מ־x = 0 ל־x = 2, y יורד מ־3 ל־−1: השיפוע (−1 − 3)/(2 − 0) = −2.
2. השורה x = 0 נותנת חיתוך b = 3. לכן y = −2x + 3. בדיקת השורה x = −2 נותנת 7 ומאשרת את הייצוג.
y = 0.5x − 1
1. השיפוע המאונך הוא 1/2, כי (−2)·(1/2) = −1.
2. מציבים ב־y = 0.5x + b את ⁦(4,1)⁩: 1 = 2 + b, ולכן b = −1. משוואת הישר היא y = 0.5x − 1.
12
1. AB אופקי, ולכן אורכו 5 − (−1) = 6. הישר שמכיל את הבסיס הוא y = 2.
2. הגובה מ־C לבסיס הוא ההפרש האנכי 6 − 2 = 4. השטח הוא חצי בסיס כפול גובה: 6·4/2 = 12 יחידות שטח.
-2
1. התלמיד השתמש בסדר A−B במונה ובסדר B−A במכנה. חייבים אותו סדר בשניהם.
2. בוחרים B−A: (−1 − 5)/(4 − 1) = −6/3 = −2. גם מבט בנקודות מראה שכאשר x גדל, y קטן.
⁦(2,4)⁩
1. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. אמצע AC הוא ((1 + 6)/2,(1 + 5)/2) = ⁦(3.5,3)⁩.
2. גם אמצע BD צריך להיות ⁦(3.5,3)⁩: לכן xD = 7 − 5 = 2, yD = 6 − 2 = 4. בדיקה: AB ו־DC בעלי שיפוע 1/4, BC ו־AD בעלי שיפוע 3.
y = −2x + 7
1. שיפוע AB הוא 3/6 = 1/2, ולכן שיפוע הגובה המאונך לו הוא −2.
2. דרך C: y − 5 = −2(x − 1), כלומר y = −2x + 7. חשוב לעבור בקודקוד שמול הצלע, לא באחד מקצות AB.
⁦(3.6,1.8)⁩
1. AB הוא y = 0.5x. הגובה דרך C בעל שיפוע −2: y − 7 = −2(x − 1), לכן y = −2x + 9.
2. משווים 0.5x = −2x + 9: מתקבל 2.5x = 9, לכן x = 3.6 ו־y = 1.8. H נמצאת על שתי המשוואות וגם בין A ל־B.
8
1. שיפועי AB ו־CD הם 1, ושיפועי BC ו־AD הם −1. לכן הצלעות הנגדיות מקבילות והסמוכות מאונכות.
2. AB² = 2² + 2² = 8, וגם BC² = 2² + (−2)² = 8. מלבן עם צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. שטחו אורך צלע בריבוע, כלומר 8 יחידות שטח.
מקבילית שאינה מלבן
1. אמצע AC הוא ⁦(3,1.5)⁩, וגם אמצע BD הוא ⁦(3,1.5)⁩. מכאן שהמרובע מקבילית.
2. AB אופקי ואילו AD בעל שיפוע 3/2, לא אנכי. לכן אין זווית ישרה ב־A וזה אינו מלבן. חציית האלכסונים מוכיחה מקבילית, אך אינה מוכיחה מאונכות של צלעות סמוכות.