בוחן קצר

גאומטריה אנליטית | בדיקה מסכמת | 12 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה אנליטית | תשפ״ז

בדיקה מסכמת | 12 שאלות בגאומטריה אנליטית לכיתה י׳, 4 יחידות: נקודות, קטעים, שיפוע ומשוואת ישר, מקבילות ומאונכות ומשולשים ומרובעים, עם פתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

לתרגם בין נקודות, טבלה ומשוואת ישר
לחשב שיפוע, אמצע קטע ומרחק
להוכיח מקבילות ומאונכות
לשלב חישוב שיעורים עם נימוק גאומטרי במשולשים ומרובעים

עבודה עצמאית

שרטטו טיוטה על דף וסמנו את הנתונים; החישוב והנימוק הם שקובעים. בשאלת מספר הקלידו מספר בלבד. בשאלת בחירה בחרו לאחר שכתבתם את הדרך. בשאלה רב־סעיפית פתרו על דף והשוו כל סעיף לפתרון המלא: בדיקת טקסט מדויק אינה בודקת הוכחה או משוואה שקולה. הרמות מתארות מורכבות הוראתית, לא דירוג בגרות מכויל.

תרגול

מצאו שיפוע בין ⁦(−3,6)⁩ ל־⁦(1,−2)⁩.
מצאו את אמצע הקטע בין ⁦(−6,3)⁩ ל־⁦(2,−5)⁩.
1. ⁦(−4,−2)⁩
2. ⁦(−2,−1)⁩
3. ⁦(2,1)⁩
4. ⁦(−1,−2)⁩
מצאו את המרחק בין ⁦(−1,−2)⁩ ל־⁦(5,6)⁩.
מצאו ישר דרך ⁦(2,−3)⁩ ששיפועו 4.
1. y = 4x − 5
2. y = −4x + 5
3. y = 4x − 11
4. y = 4x + 11
מה שיעור x של חיתוך y = −x + 6 ו־y = 3x − 2?
איזה ישר מקביל ל־3y = −6x + 9 אך אינו מתלכד איתו?
1. y = 0.5x + 1
2. y = −2x + 3
3. y = 2x + 1
4. y = −2x + 1
איזו משוואה מתארת ישר דרך ⁦(−3,2)⁩, המאונך ל־y = 5?
1. x = −3
2. y = −3
3. y = 2
4. x = 2
⁦A(−2,7)⁩, ו־⁦M(3,1)⁩ אמצע AB. מה שיעור y של B?
⁦A(1,−1)⁩, ⁦B(7,−1)⁩, ⁦C(3,4)⁩. מצאו שטח ABC.
נאמר ש־y = 0.5x − 4 מאונך ל־y = −0.5x + 1 משום שהשיפועים הפוכים בסימן. מה השיפוע הנכון של ישר המאונך לראשון?
שאלה רב־סעיפית א | ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(8,4)⁩, ⁦C(−1,2)⁩. א. מצאו משוואות AB ו־AC והוכיחו שהמשולש ישר־זווית. ב. חשבו אורכי AB ו־AC. ג. מצאו שטח המשולש. ד. מצאו אמצע BC והראו שמרחקו מ־A הוא מחצית BC. פתרו על דף והשוו לפתרון.
שאלה רב־סעיפית ב | ⁦A(1,1)⁩, ⁦B(5,3)⁩, ⁦C(4,5)⁩, ⁦D(0,3)⁩, לפי הסדר. א. הוכיחו ש־ABCD מלבן. ב. האם הוא ריבוע? נמקו. ג. חשבו היקף ושטח. ד. מצאו מפגש אלכסונים O ומשוואת AC. פתרו על דף והשוו לפתרון.

תשובות לתרגול

-2
1. ההפרש האנכי הוא −2 − 6 = −8, והאופקי הוא 1 − (−3) = 4.
2. מחלקים באותו סדר: m = −8/4 = −2. הסימן השלילי מתאים לירידה משמאל לימין.
⁦(−2,−1)⁩
1. שיעור x של האמצע הוא (−6 + 2)/2 = −2.
2. שיעור y הוא (3 − 5)/2 = −1, ולכן האמצע ⁦(−2,−1)⁩. כל ממוצע נמצא בין שיעורי הקצוות.
10
1. ההפרשים הם 5 − (−1) = 6 ו־6 − (−2) = 8.
2. המרחק הוא √(6² + 8²) = √100 = 10. נוסחת המרחק אינה סכום ההפרשים 14.
y = 4x − 11
1. כותבים y + 3 = 4(x − 2) לפי נקודה ושיפוע.
2. פותחים: y + 3 = 4x − 8, ולכן y = 4x − 11. בהצבת x = 2 מקבלים −3.
2
1. משווים את שני ערכי y: −x + 6 = 3x − 2.
2. מעבירים אגפים: 8 = 4x ולכן x = 2. מציבים ומקבלים y = 4 בשתי המשוואות.
y = −2x + 1
1. מחלקים את כל המשוואה ב־3: y = −2x + 3. השיפוע הוא −2.
2. מחפשים שיפוע −2 וחיתוך שונה מ־3: y = −2x + 1 מתאים. y = −2x + 3 היה אותו ישר, לא מקביל נפרד.
x = −3
1. y = 5 הוא ישר אופקי בעל שיפוע 0. ישר המאונך לו אנכי, ולכן לא מחפשים שיפוע באמצעות חלוקה באפס.
2. ישר אנכי דרך הנקודה שומר על שיעור x שלה: x = −3. שיעור y משתנה לאורך הישר.
-5
1. מנוסחת אמצע הקטע מתקבל (7 + yB)/2 = 1.
2. כופלים ב־2 ומחסרים 7: yB = 2 − 7 = −5. שיעור x הוא 8, והאמצע של ⁦(−2,7)⁩ ו־⁦(8,−5)⁩ הוא אכן ⁦(3,1)⁩.
15
1. הבסיס AB אופקי ואורכו 7 − 1 = 6. הגובה מ־C ל־y = −1 הוא 4 − (−1) = 5.
2. שטח המשולש הוא 6·5/2 = 15 יחידות שטח. ה־x של C אינו נחוץ לחישוב הגובה לבסיס האופקי.
-2
1. המכפלה של השיפועים שניתנו היא 0.5·(−0.5) = −0.25, ולא −1. שינוי סימן בלבד אינו מספיק.
2. דורשים 0.5m = −1 ומקבלים m = −2. החיתוך עם הציר ייקבע בנפרד אם תינתן נקודה שהישר עובר בה.
שטח 10; אמצע ⁦(3.5,3)⁩
1. א. שיפוע AB הוא 4/8 = 1/2, ושיפוע AC הוא 2/(−1) = −2. שני הישרים עוברים בראשית, לכן AB: y = 0.5x, AC: y = −2x. מכפלת השיפועים −1 מוכיחה זווית ישרה ב־A.
2. ב. AB = √(8² + 4²) = √80 = 4√5. AC = √((−1)² + 2²) = √5.
3. ג. השוקיים מאונכות ולכן השטח AB·AC/2 = (4√5·√5)/2 = 10 יחידות שטח.
4. ד. אמצע BC הוא M((8 − 1)/2,(4 + 2)/2) = ⁦(3.5,3)⁩. AM² = 3.5² + 3² = 21.25. BC² = (8 + 1)² + (4 − 2)² = 85, ולכן (BC/2)² = 85/4 = 21.25. האורכים חיוביים, ומכאן AM = BC/2.
מלבן; שטח 10; ⁦O(2.5,3)⁩
1. א. שיפוע AB הוא 2/4 = 1/2, ושיפוע CD הוא (3 − 5)/(0 − 4) = 1/2. שיפוע BC הוא 2/(−1) = −2, וגם שיפוע AD הוא 2/(−1) = −2. זוגות נגדיים מקבילים ומכפלת שיפועים סמוכים −1: זה מלבן.
2. ב. AB² = 4² + 2² = 20, BC² = (−1)² + 2² = 5. צלעות סמוכות שונות ולכן המלבן אינו ריבוע.
3. ג. AB = 2√5, BC = √5. ההיקף הוא 2(2√5 + √5) = 6√5, והשטח הוא 2√5·√5 = 10 יחידות שטח.
4. ד. האלכסונים חוצים זה את זה, לכן O אמצע AC: ((1 + 4)/2,(1 + 5)/2) = ⁦(2.5,3)⁩. שיפוע AC הוא (5 − 1)/(4 − 1) = 4/3. משוואתו y − 1 = (4/3)(x − 1), כלומר y = (4/3)x − 1/3; ב־x = 2.5 מקבלים y = 3.