דף תרגול

גאומטריה אנליטית | תרגול 4 | אתגר | שילוב גאומטרי רב־שלבי | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה אנליטית | תשפ״ז

תרגול 4 | אתגר | שילוב גאומטרי רב־שלבי בגאומטריה אנליטית לכיתה י׳, 4 יחידות: נקודות, קטעים, שיפוע ומשוואת ישר, מקבילות ומאונכות ומשולשים ומרובעים, עם פתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

לתרגם בין נקודות, טבלה ומשוואת ישר
לחשב שיפוע, אמצע קטע ומרחק
להוכיח מקבילות ומאונכות
לשלב חישוב שיעורים עם נימוק גאומטרי במשולשים ומרובעים

עבודה עצמאית

שרטטו טיוטה על דף וסמנו את הנתונים; החישוב והנימוק הם שקובעים. בשאלת מספר הקלידו מספר בלבד. בשאלת בחירה בחרו לאחר שכתבתם את הדרך. בשאלה רב־סעיפית פתרו על דף והשוו כל סעיף לפתרון המלא: בדיקת טקסט מדויק אינה בודקת הוכחה או משוואה שקולה. הרמות מתארות מורכבות הוראתית, לא דירוג בגרות מכויל.

תרגול

נתונות ⁦A(−3,0)⁩, ⁦B(3,0)⁩, C(0,t), עם t > 0. שטח המשולש 15. מצאו t והסבירו מדוע המשולש שווה־שוקיים.
נתונות ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(8,4)⁩, ⁦C(1,7)⁩. H היא נקודת המפגש של הגובה מ־C עם AB. מצאו H.
1. ⁦(3,1.5)⁩
2. ⁦(3.6,1.8)⁩
3. ⁦(1.8,3.6)⁩
4. ⁦(4,2)⁩
במשולש ⁦A(−2,1)⁩, ⁦B(6,1)⁩, ⁦C(2,7)⁩, M ו־N הם אמצעי AC ו־BC. מה אורך MN?
⁦A(−1,0)⁩, ⁦B(1,2)⁩, ⁦C(3,0)⁩, ⁦D(1,−2)⁩ הם קודקודים עוקבים. הוכיחו שזה ריבוע ומצאו את השטח.
⁦A(−2,1)⁩, ⁦B(4,5)⁩. מצאו משוואת האנך האמצעי ל־AB.
1. y = −1.5x + 4.5
2. y = 1.5x + 1.5
3. y = −1.5x + 3
4. y = (2/3)x + 7/3
ABCD, לפי הסדר: ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(6,0)⁩, ⁦C(4,3)⁩, ⁦D(1,3)⁩. מה שטח הטרפז?
במשולש ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(4,2)⁩, C(t,3), נתון AC ⟂ AB. מצאו t.
תלמיד טען שמרובע עם אלכסונים החוצים זה את זה הוא תמיד מלבן. בדקו את ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(4,0)⁩, ⁦C(6,3)⁩, ⁦D(2,3)⁩, לפי הסדר.
1. מלבן
2. ריבוע
3. מקבילית שאינה מלבן
4. מרובע שאינו מקבילית

תשובות לתרגול

5
1. אורך הבסיס AB הוא 6 והגובה אליו הוא t. לכן 6t/2 = 15, ומכאן t = 5.
2. לשוקיים אותו ריבוע אורך: AC² = 3² + 5² = 34 וגם BC² = (−3)² + 5² = 34. לכן AC = BC והמשולש שווה־שוקיים.
⁦(3.6,1.8)⁩
1. AB הוא y = 0.5x. הגובה דרך C בעל שיפוע −2: y − 7 = −2(x − 1), לכן y = −2x + 9.
2. משווים 0.5x = −2x + 9: מתקבל 2.5x = 9, לכן x = 3.6 ו־y = 1.8. H נמצאת על שתי המשוואות וגם בין A ל־B.
4
1. M הוא ((−2 + 2)/2,(1 + 7)/2) = ⁦(0,4)⁩, ו־N הוא ((6 + 2)/2,(1 + 7)/2) = ⁦(4,4)⁩.
2. הקטע MN אופקי ואורכו 4 − 0 = 4. הוא מקביל ל־AB, שאורכו 8, ולכן החישוב מתאים למשפט קטע האמצעים: מחצית הצלע השלישית.
8
1. שיפועי AB ו־CD הם 1, ושיפועי BC ו־AD הם −1. לכן הצלעות הנגדיות מקבילות והסמוכות מאונכות.
2. AB² = 2² + 2² = 8, וגם BC² = 2² + (−2)² = 8. מלבן עם צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. שטחו אורך צלע בריבוע, כלומר 8 יחידות שטח.
y = −1.5x + 4.5
1. אמצע AB הוא ⁦M(1,3)⁩. שיפוע AB הוא (5 − 1)/(4 − (−2)) = 2/3, ולכן השיפוע המאונך −3/2.
2. הישר דרך M: y − 3 = −1.5(x − 1), ומכאן y = −1.5x + 4.5. הוא עובר באמצע ומאונך לקטע; שני התנאים נחוצים.
13.5
1. AB ו־CD אופקיים: אורכיהם 6 ו־3, והמרחק האנכי ביניהם 3. שיפוע AD הוא 3 ושיפוע BC הוא −1.5, ולכן השוקיים אינן מקבילות.
2. שטח טרפז הוא מחצית סכום הבסיסים כפול הגובה: (6 + 3)·3/2 = 13.5 יחידות שטח. אין להשתמש באורך השוק כגובה.
-1.5
1. AB בעל שיפוע 1/2. AC אינו אנכי כי ישר אנכי אינו מאונך ל־AB; לכן t אינו אפס, ושיפוע AC הוא 3/t.
2. דורשים (1/2)·(3/t) = −1. כפל ב־t נותן 1.5 = −t, ומכאן t = −1.5. בדיקה: שיפוע AC = −2, ומכפלת השיפועים −1.
מקבילית שאינה מלבן
1. אמצע AC הוא ⁦(3,1.5)⁩, וגם אמצע BD הוא ⁦(3,1.5)⁩. מכאן שהמרובע מקבילית.
2. AB אופקי ואילו AD בעל שיפוע 3/2, לא אנכי. לכן אין זווית ישרה ב־A וזה אינו מלבן. חציית האלכסונים מוכיחה מקבילית, אך אינה מוכיחה מאונכות של צלעות סמוכות.