דף תרגול

גאומטריה אנליטית | תרגול 3 | העמקה | נימוק ותיקון טעויות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה אנליטית | תשפ״ז

תרגול 3 | העמקה | נימוק ותיקון טעויות בגאומטריה אנליטית לכיתה י׳, 4 יחידות: נקודות, קטעים, שיפוע ומשוואת ישר, מקבילות ומאונכות ומשולשים ומרובעים, עם פתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

לתרגם בין נקודות, טבלה ומשוואת ישר
לחשב שיפוע, אמצע קטע ומרחק
להוכיח מקבילות ומאונכות
לשלב חישוב שיעורים עם נימוק גאומטרי במשולשים ומרובעים

עבודה עצמאית

שרטטו טיוטה על דף וסמנו את הנתונים; החישוב והנימוק הם שקובעים. בשאלת מספר הקלידו מספר בלבד. בשאלת בחירה בחרו לאחר שכתבתם את הדרך. בשאלה רב־סעיפית פתרו על דף והשוו כל סעיף לפתרון המלא: בדיקת טקסט מדויק אינה בודקת הוכחה או משוואה שקולה. הרמות מתארות מורכבות הוראתית, לא דירוג בגרות מכויל.

תרגול

תלמיד חישב שיפוע בין ⁦A(1,5)⁩, ⁦B(4,−1)⁩ כך: (5 − (−1))/(4 − 1) = 2. מה השיפוע הנכון?
במשולש ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(4,2)⁩, ⁦C(−1,2)⁩, באיזה קודקוד יש זווית ישרה?
1. B
2. C
3. A
4. אין זווית ישרה
⁦A(1,1)⁩, ⁦B(5,2)⁩, ⁦C(6,5)⁩ הם קודקודים עוקבים של מקבילית ABCD. מצאו D.
1. ⁦(0,−2)⁩
2. ⁦(2,4)⁩
3. ⁦(10,6)⁩
4. ⁦(4,2)⁩
ABCD, לפי הסדר, הוא ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(4,2)⁩, ⁦C(3,4)⁩, ⁦D(−1,2)⁩. איזה תיאור מדויק ביותר?
1. ריבוע
2. טרפז עם זוג מקביל אחד
3. מלבן שאינו ריבוע
4. מרובע ללא צלעות מקבילות
במשולש ⁦A(−2,0)⁩, ⁦B(4,0)⁩, ⁦C(1,6)⁩, מצאו משוואת התיכון מ־C ל־AB.
1. y = 1
2. y = 6
3. y = x
4. x = 1
הישר y = (k − 1)x + 2 מקביל ל־y = −3x + 7. מה k?
במשולש ⁦A(0,0)⁩, ⁦B(6,3)⁩, ⁦C(1,5)⁩, מצאו את הגובה מ־C לישר AB.
1. y = 0.5x + 4.5
2. y = −2x + 7
3. y = −2x
4. y = 2x + 3
משווים את 2y = 4x + 6 ל־y = 2x + 3. כמה נקודות משותפות יש לשני הישרים?
1. אפס
2. אחת
3. שתיים
4. אינסוף

תשובות לתרגול

-2
1. התלמיד השתמש בסדר A−B במונה ובסדר B−A במכנה. חייבים אותו סדר בשניהם.
2. בוחרים B−A: (−1 − 5)/(4 − 1) = −6/3 = −2. גם מבט בנקודות מראה שכאשר x גדל, y קטן.
A
1. שיפוע AB הוא 2/4 = 1/2. שיפוע AC הוא 2/(−1) = −2.
2. מכפלת השיפועים −1, ולכן AB מאונך ל־AC. הם נפגשים ב־A, ולכן הזווית הישרה ב־A. אפשר לאמת: AB² = 20, AC² = 5, BC² = 25.
⁦(2,4)⁩
1. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. אמצע AC הוא ((1 + 6)/2,(1 + 5)/2) = ⁦(3.5,3)⁩.
2. גם אמצע BD צריך להיות ⁦(3.5,3)⁩: לכן xD = 7 − 5 = 2, yD = 6 − 2 = 4. בדיקה: AB ו־DC בעלי שיפוע 1/4, BC ו־AD בעלי שיפוע 3.
מלבן שאינו ריבוע
1. שיפוע AB הוא 1/2 ושיפוע CD הוא (2 − 4)/(−1 − 3) = 1/2. שיפוע BC הוא −2 וגם שיפוע AD הוא −2; שתי זוגות הצלעות הנגדיות מקבילות.
2. מכפלת שיפועי הצלעות הסמוכות −1, ולכן זו מקבילית בעלת זווית ישרה, כלומר מלבן. AB² = 20 ואילו BC² = 5, לכן הצלעות הסמוכות אינן שוות ואין זה ריבוע.
x = 1
1. אמצע AB הוא M((−2 + 4)/2,0) = ⁦(1,0)⁩. תיכון מחבר קודקוד לאמצע הצלע שמולו.
2. C ו־M בעלי אותו שיעור x = 1, ולכן התיכון מונח על הישר האנכי x = 1. במקרה הזה הוא גם גובה, אך תיכון כללי אינו בהכרח גובה.
-2
1. המקבילות מחייבת שוויון שיפועים, ולכן k − 1 = −3.
2. מוסיפים 1 לשני האגפים: k = −2. בהצבה מתקבל שיפוע −3; החיתוכים 2 ו־7 שונים, ולכן אלה ישרים שונים ומקבילים.
y = −2x + 7
1. שיפוע AB הוא 3/6 = 1/2, ולכן שיפוע הגובה המאונך לו הוא −2.
2. דרך C: y − 5 = −2(x − 1), כלומר y = −2x + 7. חשוב לעבור בקודקוד שמול הצלע, לא באחד מקצות AB.
אינסוף
1. מחלקים את כל אגפי המשוואה הראשונה ב־2: y = 2x + 3.
2. שתי המשוואות מתארות אותו ישר, ולכן כל נקודה עליו משותפת. שיפועים שווים לבדם אינם מספיקים: כאן גם החיתוך זהה.