דף תרגול

גאומטריה אנליטית | תרגול 2 | קשרים | משוואות וייצוגים | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה אנליטית | תשפ״ז

תרגול 2 | קשרים | משוואות וייצוגים בגאומטריה אנליטית לכיתה י׳, 4 יחידות: נקודות, קטעים, שיפוע ומשוואת ישר, מקבילות ומאונכות ומשולשים ומרובעים, עם פתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

לתרגם בין נקודות, טבלה ומשוואת ישר
לחשב שיפוע, אמצע קטע ומרחק
להוכיח מקבילות ומאונכות
לשלב חישוב שיעורים עם נימוק גאומטרי במשולשים ומרובעים

עבודה עצמאית

שרטטו טיוטה על דף וסמנו את הנתונים; החישוב והנימוק הם שקובעים. בשאלת מספר הקלידו מספר בלבד. בשאלת בחירה בחרו לאחר שכתבתם את הדרך. בשאלה רב־סעיפית פתרו על דף והשוו כל סעיף לפתרון המלא: בדיקת טקסט מדויק אינה בודקת הוכחה או משוואה שקולה. הרמות מתארות מורכבות הוראתית, לא דירוג בגרות מכויל.

תרגול

מצאו משוואת ישר ששיפועו −2 ועובר ב־⁦P(3,1)⁩.
1. y = −2x − 5
2. y = 2x − 5
3. y = −2x + 7
4. y = −2x + 1
נתונות ⁦A(−1,4)⁩, ⁦B(3,−4)⁩. מצאו משוואת AB.
1. y = −2x + 2
2. y = −2x + 6
3. y = 2x + 6
4. y = −x + 3
הישרים y = 2x − 1 ו־y = −x + 8 נחתכים ב־P. מה שיעור x של P?
נקודות של ישר נרשמו בטבלה. מה משוואתו?

x y
−2 7
0 3
2 −1
1. y = 2x + 3
2. y = −2x − 3
3. y = −x + 3
4. y = −2x + 3
⁦M(2,−1)⁩ הוא אמצע AB, ו־⁦A(−3,4)⁩. מצאו B.
1. ⁦(1,3)⁩
2. ⁦(7,−6)⁩
3. ⁦(−8,9)⁩
4. ⁦(7,6)⁩
מצאו ישר דרך ⁦(−2,5)⁩, המקביל ל־y = 3x + 1.
1. y = 3x + 1
2. y = −3x − 1
3. y = 3x + 11
4. y = 3x − 11
מצאו ישר דרך ⁦(4,1)⁩, המאונך ל־y = −2x + 6.
1. y = −0.5x + 3
2. y = 2x − 7
3. y = −2x + 9
4. y = 0.5x − 1
במשולש ⁦A(−1,2)⁩, ⁦B(5,2)⁩, ⁦C(2,6)⁩, מה השטח?

x	y
−2	7
0	3
2	−1

תשובות לתרגול

y = −2x + 7
1. כותבים y − 1 = −2(x − 3), כדי לעגן את השיפוע בנקודה הנתונה.
2. פותחים סוגריים: y − 1 = −2x + 6, ומוסיפים 1: y = −2x + 7. בדיקה ב־x = 3 נותנת y = 1.
y = −2x + 2
1. השיפוע הוא (−4 − 4)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2.
2. מציבים את A ב־y = −2x + b: מתקבל 4 = 2 + b, לכן b = 2. גם ב־x = 3 מקבלים −4, כדרוש.
3
1. בנקודת החיתוך אותו y בשתי המשוואות: 2x − 1 = −x + 8.
2. מעבירים אגפים: 3x = 9 ולכן x = 3. מציבים ומקבלים y = 5; החיתוך המלא הוא ⁦(3,5)⁩.
y = −2x + 3
1. במעבר מ־x = 0 ל־x = 2, y יורד מ־3 ל־−1: השיפוע (−1 − 3)/(2 − 0) = −2.
2. השורה x = 0 נותנת חיתוך b = 3. לכן y = −2x + 3. בדיקת השורה x = −2 נותנת 7 ומאשרת את הייצוג.
⁦(7,−6)⁩
1. מהנוסחה לשיעור האמצע: (−3 + xB)/2 = 2, ולכן xB = 4 + 3 = 7.
2. בציר y: (4 + yB)/2 = −1, לכן yB = −2 − 4 = −6. בדיקה: ממוצעי השיעורים הם בדיוק ⁦(2,−1)⁩.
y = 3x + 11
1. המקבילות קובעת שיפוע 3, ולכן מחפשים y = 3x + b.
2. מציבים ⁦(−2,5)⁩: 5 = −6 + b ומקבלים b = 11. המקבילות אינה מחייבת אותו חיתוך עם ציר y.
y = 0.5x − 1
1. השיפוע המאונך הוא 1/2, כי (−2)·(1/2) = −1.
2. מציבים ב־y = 0.5x + b את ⁦(4,1)⁩: 1 = 2 + b, ולכן b = −1. משוואת הישר היא y = 0.5x − 1.
12
1. AB אופקי, ולכן אורכו 5 − (−1) = 6. הישר שמכיל את הבסיס הוא y = 2.
2. הגובה מ־C לבסיס הוא ההפרש האנכי 6 − 2 = 4. השטח הוא חצי בסיס כפול גובה: 6·4/2 = 12 יחידות שטח.